数学B 数列･確率 問題 12 解説

方針・初手

$P$ が頂点 $A$ にいる確率を $p_n$ とする。正三角形の頂点 $B,C$ は対称なので、$n$ 分後に $B,C$ にいる確率はそれぞれ等しい。

したがって、$A$ 以外にいる確率 $1-p_n$ を $B,C$ に等分して考えればよい。

解法1

$n$ 分後に $P$ が $A$ にいる確率は $p_n$ である。

また、$B,C$ は対称であるから、$n$ 分後に $P$ が $B$ にいる確率、$C$ にいる確率はいずれも

$$ \frac{1-p_n}{2} $$

である。

まず、$p_0=1$ であるから、$1$ 分後に $A$ にいるには、その場に留まればよい。よって

$$ p_1=1\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3} $$

である。

次に、$2$ 分後に $A$ にいる確率を求める。$1$ 分後に $A$ にいてその場に留まる場合と、$1$ 分後に $B$ または $C$ にいて $A$ に移動する場合を考える。

$$ \begin{aligned} p_2 &=p_1\cdot \frac{2}{3} +\left(1-p_1\right)\cdot \frac{1}{6} \\ &=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3} +\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6} \\ &=\frac{4}{9}+\frac{1}{18} \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned} $$

次に、一般の $n$ について $p_{n+1}$ を $p_n$ で表す。

$n$ 分後に $A$ にいる場合、次の $1$ 分で $A$ に留まる確率は $\frac{2}{3}$ である。また、$n$ 分後に $A$ 以外、すなわち $B$ または $C$ にいる場合、次の $1$ 分で $A$ に移動する確率は $\frac{1}{6}$ である。

したがって

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &=p_n\cdot \frac{2}{3}+\left(1-p_n\right)\cdot \frac{1}{6} \\ &=\frac{2}{3}p_n+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}p_n \\ &=\frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6} \end{aligned} $$

よって

$$ p_{n+1}=\frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6} $$

である。

この漸化式を解く。定数解を $\alpha$ とすると、

$$ \alpha=\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{6} $$

より、

$$ \alpha=\frac{1}{3} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} p_{n+1}-\frac{1}{3} &= \frac{1}{2}\left(p_n-\frac{1}{3}\right) \end{aligned} $$

となる。

よって数列 $\left\{p_n-\frac{1}{3}\right\}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。初項は

$$ p_0-\frac{1}{3}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} $$

だから、

$$ \begin{aligned} p_n-\frac{1}{3} &= \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題では、$B$ と $C$ の対称性を使うことが重要である。$P$ が $A$ にいる確率だけを追えばよく、$B$ と $C$ を個別に区別する必要はない。

特に、$A$ 以外にいる確率 $1-p_n$ から $A$ に移動する確率は、$B$ にいても $C$ にいても同じく $\frac{1}{6}$ であるため、

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{2}{3}p_n+\frac{1}{6}(1-p_n) \end{aligned} $$

とまとめられる。

漸化式

$$ p_{n+1}=\frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6} $$

は定数項を含む一次漸化式なので、極限値にあたる $\frac{1}{3}$ を引いて等比数列に直すのが標準的な処理である。

答え

(1)

$$ p_1=\frac{2}{3},\qquad p_2=\frac{1}{2} $$

したがって、

$$ [ア]=\frac{2}{3},\qquad [イ]=\frac{1}{2} $$

(2)

$$ p_{n+1}=\frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6} $$

したがって、

$$ [ウ]=\frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6} $$

(3)

$$ p_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n $$

したがって、

$$ [エ]=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n $$