数学B 数列･確率 問題 13 解説

方針・初手

点は正の向きにしか進まず、1回の移動量は $1$ または $2$ である。したがって、座標 $n+1$ に立ち寄らないためには、座標 $n$ から座標 $n+2$ へ一気に進むしかない。

この「立ち寄らない場合」を考えると、$p_{n+1}$ を $p_n$ だけで表せる。

解法1

まず、原点から出発する。座標 $0$ にいるとき、$1$ 進む確率は

$$ \frac{1}{0+1}=1 $$

であるから、座標 $1$ には必ず立ち寄る。よって

$$ p_1=1 $$

である。

（1） 座標 $2$ に立ち寄らないのは、座標 $1$ から $2$ 進んで座標 $3$ に移る場合である。座標 $1$ から $2$ 進む確率は

$$ \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} $$

であるから、

$$ p_2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} $$

となる。

（2） 一般に、座標 $n+1$ に立ち寄らない場合を考える。点は $1$ または $2$ だけ正の向きに進むので、座標 $n+1$ を飛び越えるには、座標 $n$ から座標 $n+2$ へ進むしかない。

座標 $n$ に立ち寄る確率は $p_n$ であり、座標 $n$ から $2$ 進む確率は

$$ \frac{n}{n+1} $$

である。したがって、座標 $n+1$ に立ち寄らない確率は

$$ p_n \cdot \frac{n}{n+1} $$

である。

よって、

$$ p_{n+1}=1-\frac{n}{n+1}p_n $$

を得る。

（3） この漸化式を解く。両辺に $n+1$ を掛けると、

$$ (n+1)p_{n+1}=n+1-np_n $$

となる。ここで

$$ a_n=np_n $$

とおくと、

$$ a_{n+1}=n+1-a_n $$

すなわち

$$ a_{n+1}+a_n=n+1 $$

である。

また、$a_1=1\cdot p_1=1$ である。

この漸化式から値を並べると、

$$ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_3=2,\quad a_4=2,\quad a_5=3,\quad a_6=3,\cdots $$

となる。したがって、

$$ a_{2m}=m,\qquad a_{2m-1}=m $$

である。

よって、

$$ p_{2m}=\frac{a_{2m}}{2m}=\frac{m}{2m}=\frac{1}{2} $$

また、

$$ p_{2m-1}=\frac{a_{2m-1}}{2m-1}=\frac{m}{2m-1} $$

である。

したがって、$n$ が偶数のとき

$$ p_n=\frac{1}{2} $$

であり、$n$ が奇数のとき、$n=2m-1$ として

$$ p_n=\frac{m}{2m-1}=\frac{n+1}{2n} $$

である。

解説

この問題では、「座標 $n+1$ に立ち寄る確率」を直接考えるよりも、「座標 $n+1$ に立ち寄らない確率」を考えるのが重要である。

点は $1$ または $2$ しか進まないため、座標 $n+1$ を飛ばすには、直前に座標 $n$ にいて、そこから $2$ 進む場合しかない。この観察により、$p_{n+1}$ を $p_n$ だけで表す漸化式が得られる。

漸化式

$$ p_{n+1}=1-\frac{n}{n+1}p_n $$

はそのままではやや扱いにくいが、$a_n=np_n$ とおくことで

$$ a_{n+1}+a_n=n+1 $$

という単純な形になる。ここから偶奇で規則性を読み取るのが自然である。

答え

(1)

$$ p_2=\frac{1}{2} $$

(2)

$$ p_{n+1}=1-\frac{n}{n+1}p_n \qquad (n\geqq 1) $$

(3)

$$ p_n= \begin{cases} \dfrac{1}{2} & (n\text{ が偶数})\\[6pt] \dfrac{n+1}{2n} & (n\text{ が奇数}) \end{cases} $$