数学B 数列･確率 問題 14 解説

方針・初手

P と Q はどちらも下向きの三角形の部屋である。1 秒ごとに辺を共有する部屋へ移るので、下向きの部屋と上向きの部屋を交互に移動する。

したがって、奇数秒後に下向きの部屋 Q にいることはない。偶数秒後だけを考え、2 秒を 1 回の操作として、下向きの三角形の部屋どうしの移動確率を調べる。

解法1

下向きの三角形の部屋は、P，Q，および左下の下向きの部屋の 3 つである。左下の下向きの部屋を R とする。

まず、P から 2 秒後に各下向きの部屋へ移る確率を求める。

P に隣接する上向きの部屋は 3 つある。そのうち、上端の部屋は P としか接していないので、そこへ移った場合は次に必ず P に戻る。一方、左右の上向きの部屋はそれぞれ 2 つの下向きの部屋と接している。

よって、P から 2 秒後に P にいる確率は

$$ \frac{1}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} =\frac{2}{3} $$

である。また、P から 2 秒後に R，Q にいる確率はいずれも

$$ \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} =\frac{1}{6} $$

である。

同様に、R または Q から出発しても、2 秒後に同じ下向きの部屋にいる確率は $\frac{2}{3}$、他の 2 つの下向きの部屋にいる確率はそれぞれ $\frac{1}{6}$ である。

$n=2m$ 秒後を考える。$2m$ 秒後に P にいる確率を $a_m$、Q にいる確率を $c_m$ とする。P から出発しており、図形は左右対称なので、$2m$ 秒後に R にいる確率も $c_m$ である。

したがって

$$ a_m+2c_m=1 $$

が成り立つ。

次に、$2m$ 秒後からさらに 2 秒後に Q にいる確率を考える。直前に P にいれば確率 $\frac{1}{6}$ で Q へ移り、直前に R にいれば確率 $\frac{1}{6}$ で Q へ移り、直前に Q にいれば確率 $\frac{2}{3}$ で Q にいる。

よって

$$ c_{m+1} =\frac{1}{6}a_m+\frac{1}{6}c_m+\frac{2}{3}c_m $$

である。$a_m=1-2c_m$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} c_{m+1} &=\frac{1}{6}(1-2c_m)+\frac{1}{6}c_m+\frac{2}{3}c_m\\ &=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}c_m \end{aligned} $$

となる。

初め P にいるので $c_0=0$ である。漸化式

$$ c_{m+1}=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}c_m $$

を解くため、極限値にあたる定数を求める。$c=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}c$ より $c=\frac{1}{3}$ であるから、

$$ c_{m+1}-\frac{1}{3} =\frac{1}{2}\left(c_m-\frac{1}{3}\right) $$

となる。よって

$$ c_m-\frac{1}{3} =\left(\frac{1}{2}\right)^m\left(c_0-\frac{1}{3}\right) $$

であり、$c_0=0$ だから

$$ c_m =\frac{1}{3}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^m\right) $$

を得る。

したがって、$n=2m$ のとき、求める確率は

$$ \frac{1}{3}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^m\right) $$

である。

解説

この問題では、1 秒ごとの移動をそのまま 9 部屋すべてで追うと煩雑になる。P と Q がどちらも下向きの部屋であることに注目し、2 秒ごとに下向きの部屋だけを見るのが自然である。

2 秒後の移動では、下向きの 3 部屋の間で「同じ部屋に残る確率が $\frac{2}{3}$、他の 2 部屋へ移る確率がそれぞれ $\frac{1}{6}$」という対称な遷移になる。ここまで整理できれば、あとは 1 変数の漸化式に帰着できる。

答え

$$ \boxed{ \begin{cases} 0 & (n\text{ が奇数のとき})\\[6pt] \dfrac{1}{3}\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n/2}\right) & (n\text{ が偶数のとき}) \end{cases} } $$