数学B 数列･確率 問題 19 解説

方針・初手

左端点 $A$ が原点に到達して先に終わる確率を $p_n$ とする。

1 回動くと、さいころの目が $2$ 以下なら線分全体が右へ $1$ 動くので、左端点の位置は $-n+1$ になる。目が $3$ 以上なら左へ $1$ 動くので、左端点の位置は $-n-1$ になる。

したがって、次の 1 回後の状態に着目すれば、$p_n$ は $p_{n-1},p_{n+1}$ を用いた漸化式で表せる。

解法1

左端点 $A$ が $x=-n$ にある状態から出発するとする。ただし

$$ 1 \leqq n \leqq a-1 $$

である。

さいころの目が $1,2$ のときは確率

$$ \frac{2}{6}=\frac{1}{3} $$

で線分は右へ $1$ だけ動く。このとき左端点は $x=-(n-1)$ に移るから、その後に $A$ が先に原点へ到達する確率は $p_{n-1}$ である。

また、さいころの目が $3,4,5,6$ のときは確率

$$ \frac{4}{6}=\frac{2}{3} $$

で線分は左へ $1$ だけ動く。このとき左端点は $x=-(n+1)$ に移るから、その後に $A$ が先に原点へ到達する確率は $p_{n+1}$ である。

よって、

$$ p_n=\frac{1}{3}p_{n-1}+\frac{2}{3}p_{n+1} \qquad (1 \leqq n \leqq a-1) $$

を得る。

これを整理すると、

$$ 2p_{n+1}-3p_n+p_{n-1}=0 \qquad (1 \leqq n \leqq a-1) $$

である。

次にこの漸化式を解く。特性方程式は

$$ 2r^2-3r+1=0 $$

であり、

$$ (2r-1)(r-1)=0 $$

より

$$ r=1,\ \frac{1}{2} $$

を得る。したがって、

$$ p_n=A+B\left(\frac{1}{2}\right)^n $$

と表せる。

ここで条件

$$ p_0=1,\qquad p_a=0 $$

を用いると、

$$ A+B=1 $$

$$ A+B\left(\frac{1}{2}\right)^a=0 $$

である。差をとると、

$$ B\left\{1-\left(\frac{1}{2}\right)^a\right\}=1 $$

より

$$ B=\frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^a} $$

となる。また、

$$ A=1-B $$

であるから、

$$ p_n =1-\frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^a} +\frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^a}\left(\frac{1}{2}\right)^n $$

すなわち

$$ p_n =\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n-\left(\frac{1}{2}\right)^a}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^a} $$

である。

分母分子に $2^a$ を掛ければ、

$$ p_n=\frac{2^{a-n}-1}{2^a-1} $$

となる。

解説

この問題は「左端点が原点まであと何歩か」で状態を表すと、1 回ごとにその値が $1$ 減るか $1$ 増えるかの 2 通りしかない。

したがって、吸収確率 $p_n$ は 1 回先を見た条件付き確率で

$$ p_n=\frac{1}{3}p_{n-1}+\frac{2}{3}p_{n+1} $$

という 3 項間漸化式になる。あとは境界条件

$$ p_0=1,\qquad p_a=0 $$

を入れて定数を決めればよい。

答え

(1)

$$ p_n=\frac{1}{3}p_{n-1}+\frac{2}{3}p_{n+1} \qquad (1 \leqq n \leqq a-1) $$

または

$$ 2p_{n+1}-3p_n+p_{n-1}=0 \qquad (1 \leqq n \leqq a-1) $$

(2)

$$ p_n =\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n-\left(\frac{1}{2}\right)^a}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^a} =\frac{2^{a-n}-1}{2^a-1} \qquad (0 \leqq n \leqq a) $$