数学B 数列の和 問題 38 解説

方針・初手

各項は、$2$ の累乗を $1$ 個、$2$ 個、$3$ 個、……と順にまとめたものである。

したがって、第 $15$ 項までの和は、$2^0$ からどこまでの累乗が使われるかを数えればよい。

解法1

数列の各項を、$2$ の累乗のまとまりとして見る。

第 $1$ 項は

$$ 1=2^0 $$

であり、第 $2$ 項は

$$ 2+2^2=2^1+2^2 $$

第 $3$ 項は

$$ 2^3+2^4+2^5 $$

である。

つまり、第 $1$ 項までに $1$ 個、第 $2$ 項までに $1+2$ 個、第 $3$ 項までに $1+2+3$ 個の累乗が使われている。

第 $15$ 項までに使われる累乗の個数は

$$ 1+2+\cdots+15=\frac{15\cdot16}{2}=120 $$

である。

最初は $2^0$ から始まるので、$120$ 個の累乗は

$$ 2^0,2^1,2^2,\ldots,2^{119} $$

である。

よって求める和は等比数列の和より

$$ 2^0+2^1+2^2+\cdots+2^{119} =\frac{2^{120}-1}{2-1} =2^{120}-1 $$

である。

解法2

第 $n$ 項を直接表す。

第 $n$ 項の最初の指数は、それ以前の項で使われた累乗の個数に等しい。第 $n-1$ 項までに使われた個数は

$$ 1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2} $$

である。

したがって第 $n$ 項は

$$ 2^{\frac{n(n-1)}{2}}+2^{\frac{n(n-1)}{2}+1}+\cdots+2^{\frac{n(n-1)}{2}+n-1} $$

である。

これは初項 $2^{\frac{n(n-1)}{2}}$、公比 $2$、項数 $n$ の等比数列の和なので、

$$ \begin{aligned} a_n &= 2^{\frac{n(n-1)}{2}}(2^n-1) \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ \begin{aligned} 2^{\frac{n(n-1)}{2}}(2^n-1) &= 2^{\frac{n(n+1)}{2}}-2^{\frac{n(n-1)}{2}} \end{aligned} $$

であるから、第 $15$ 項までの和は

$$ \begin{aligned} a_1+a_2+\cdots+a_{15} &=(2^1-2^0)+(2^3-2^1)+(2^6-2^3)+\cdots+(2^{120}-2^{105})\\ &=2^{120}-2^0\\ &=2^{120}-1 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、各項を個別に計算しようとすると手間が大きい。重要なのは、数列の各項が「連続する $2$ の累乗を、$1$ 個、$2$ 個、$3$ 個、……と区切ったもの」になっている点である。

第 $15$ 項までなら、使われる累乗の個数は三角数

$$ 1+2+\cdots+15=120 $$

である。したがって、全体は $2^0$ から $2^{119}$ までの等比数列の和に帰着する。

答え

$$ 2^{120}-1 $$