数学B 数列の和 問題 39 解説

方針・初手

複利の問題では、金額の条件を指数不等式に直し、常用対数をとって年数を求める。ここでは $1.05=\dfrac{21}{20}$ と表せるので、与えられた $\log_{10}2,\log_{10}3,\log_{10}5,\log_{10}7$ を用いて $\log_{10}1.05$ を求めるのが初手である。

解法1

まず、

$$ 1.05=\frac{105}{100}=\frac{21}{20}=\frac{3\cdot 7}{2^2\cdot 5} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \log_{10}1.05 &=\log_{10}\frac{3\cdot 7}{2^2\cdot 5} \\ &=\log_{10}3+\log_{10}7-2\log_{10}2-\log_{10}5 \\ &=0.477+0.845-2\cdot 0.301-0.699 \\ &=1.322-1.301 \\ &=0.021 \end{aligned} $$

したがって、

$$ \log_{10}1.05=0.021 $$

である。

次に、元利合計が初めて $2000$ 万円を超える年数を求める。$n$ 年後の金額は

$$ 1000(1.05)^n $$

万円であるから、

$$ 1000(1.05)^n>2000 $$

となればよい。これより、

$$ (1.05)^n>2 $$

である。

両辺の常用対数をとると、

$$ n\log_{10}1.05>\log_{10}2 $$

である。よって、

$$ 0.021n>0.301 $$

となるから、

$$ n>\frac{0.301}{0.021}=14.333\cdots $$

である。したがって、最小の整数 $n$ は

$$ n=15 $$

である。

次に、毎年の始めに $200$ 万円ずつ積み立てる場合を考える。

2011年の始めに積み立てた $200$ 万円は、2011年の終わりには $200\cdot 1.05$ 万円になる。2012年の始めに積み立てた $200$ 万円は、2012年の終わりには $200\cdot 1.05$ 万円になる。

したがって、積立開始から $m$ 年目の終わりにおける元利合計は

$$ 200(1.05)^m+200(1.05)^{m-1}+\cdots+200(1.05) $$

である。これは等比数列の和であるから、

$$ \begin{aligned} 200{1.05+1.05^2+\cdots+1.05^m} &=200\cdot \frac{1.05{(1.05)^m-1}}{1.05-1} \\ &=200\cdot \frac{1.05{(1.05)^m-1}}{0.05} \\ &=4200{(1.05)^m-1} \end{aligned} $$

万円である。

これが初めて $3000$ 万円を超える条件は

$$ 4200{(1.05)^m-1}>3000 $$

である。これを整理すると、

$$ (1.05)^m-1>\frac{3000}{4200}=\frac{5}{7} $$

より、

$$ (1.05)^m>\frac{12}{7} $$

である。

両辺の常用対数をとると、

$$ m\log_{10}1.05>\log_{10}\frac{12}{7} $$

である。ここで、

$$ \begin{aligned} \log_{10}\frac{12}{7} &=\log_{10}\frac{2^2\cdot 3}{7} \\ &=2\log_{10}2+\log_{10}3-\log_{10}7 \\ &=2\cdot 0.301+0.477-0.845 \\ &=0.234 \end{aligned} $$

であるから、

$$ 0.021m>0.234 $$

となる。よって、

$$ m>\frac{0.234}{0.021}=11.142\cdots $$

である。

したがって、最小の整数 $m$ は

$$ m=12 $$

である。

1回目の積立を2011年の始めにしているので、1年目の終わりは2011年の終わり、12年目の終わりは

$$ 2011+12-1=2022 $$

年の終わりである。

解説

この問題の中心は、複利の式を指数不等式に直し、常用対数で年数を求めることである。

特に積立の問題では、各年の始めに積み立てるため、年末にはその年の積立分にも1年分の利息がつく。したがって、$m$ 年目の終わりの金額は

$$ 200(1.05)+200(1.05)^2+\cdots+200(1.05)^m $$

となる。ここを

$$ 200+200(1.05)+\cdots $$

のようにしてしまうと、1年分ずれて誤答になる。

答え

(1)

$$ \boxed{0.021} $$

(2)

$$ \boxed{15} $$

年後

(3)

$$ \boxed{2022} $$

年の終わり