数学B 数列の和 問題 40 解説

方針・初手

将来の収入・支出を比較する問題なので、すべてを「現在の価値」に換算してから比べる。

$n$ 年後の $A_n$ 万円の現在価値は

$$ \frac{A_n}{(1+r)^n} $$

である。したがって、毎年同額が発生する場合は等比数列の和として処理する。

解法1

案1では、今年に $100$ 万円を支出し、$1$ 年後から $10$ 年後まで毎年 $12$ 万円の収入がある。

$1$ 年後に得られる $12$ 万円の現在価値は

$$ \frac{12}{1+r} $$

万円である。

よって、

$$ \text{[チ]}=\frac{12}{1+r} $$

である。

次に、$1$ 年後から $10$ 年後まで毎年 $12$ 万円を受け取るので、その現在価値の合計は

$$ \frac{12}{1+r}+\frac{12}{(1+r)^2}+\cdots+\frac{12}{(1+r)^{10}} $$

である。

これは初項 $\dfrac{12}{1+r}$、公比 $\dfrac{1}{1+r}$、項数 $10$ の等比数列の和であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{12}{1+r}+\frac{12}{(1+r)^2}+\cdots+\frac{12}{(1+r)^{10}} &=\frac{\dfrac{12}{1+r}\left\{1-\left(\dfrac{1}{1+r}\right)^{10}\right\}}{1-\dfrac{1}{1+r}}\\ &=\frac{\dfrac{12}{1+r}\left\{1-\dfrac{1}{(1+r)^{10}}\right\}}{\dfrac{r}{1+r}}\\ &=\frac{12}{r}\left\{1-\frac{1}{(1+r)^{10}}\right\} \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \text{[ツ]}=12,\qquad \text{[テ]}=r,\qquad \text{[ト]}=(1+r)^{10} $$

である。

$r=0.03$、$(1.03)^{10}=1.34$ とすると、②は

$$ \frac{12}{0.03}\left(1-\frac{1}{1.34}\right) =400\left(1-\frac{1}{1.34}\right) $$

である。

ここで、

$$ 1-\frac{1}{1.34} =\frac{1.34-1}{1.34} =\frac{0.34}{1.34} $$

より、

$$ 400\cdot \frac{0.34}{1.34} =\frac{136}{1.34} \fallingdotseq 101.49 $$

である。小数第1位を四捨五入して整数で答えるので、

$$ \text{[ナ]}=101 $$

である。

次に、案2では、$1$ 年後から $10$ 年後まで毎年 $C$ 万円の維持費がかかる。この維持費全体の現在価値は

$$ \frac{C}{1+r}+\frac{C}{(1+r)^2}+\cdots+\frac{C}{(1+r)^{10}} $$

である。

これも初項 $\dfrac{C}{1+r}$、公比 $\dfrac{1}{1+r}$、項数 $10$ の等比数列の和であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{C}{1+r}+\frac{C}{(1+r)^2}+\cdots+\frac{C}{(1+r)^{10}} &=\frac{\dfrac{C}{1+r}\left\{1-\left(\dfrac{1}{1+r}\right)^{10}\right\}}{1-\dfrac{1}{1+r}}\\ &=\frac{C}{r}\left\{1-\frac{1}{(1+r)^{10}}\right\} \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \text{[ニ]}=C,\qquad \text{[ヌ]}=r,\qquad \text{[ネ]}=(1+r)^{10} $$

である。

案1の現在価値で見た利潤は、収入の現在価値から最初の支出 $100$ 万円を引いて

$$ \frac{12}{r}\left\{1-\frac{1}{(1+r)^{10}}\right\}-100 $$

である。

案2の現在価値で見た利潤は、収入がなく、維持費だけがかかるので

$$ -\frac{C}{r}\left\{1-\frac{1}{(1+r)^{10}}\right\} $$

である。

案1を選ぶべき条件は、案1の利潤が案2の利潤以上になることである。したがって、

$$ \frac{12}{r}\left\{1-\frac{1}{(1+r)^{10}}\right\}-100 \geqq -\frac{C}{r}\left\{1-\frac{1}{(1+r)^{10}}\right\} $$

である。

左辺にまとめると、

$$ \frac{12+C}{r}\left\{1-\frac{1}{(1+r)^{10}}\right\}-100\geqq 0 $$

となる。

よって、

$$ \text{[ノ]}=12+C,\qquad \text{[ハ]}=r,\qquad \text{[ヒ]}=(1+r)^{10},\qquad \text{[フ]}=100 $$

である。

解説

この問題の中心は、将来の金額を単純に足し引きしないことである。$1$ 年後、$2$ 年後、$\ldots$、$10$ 年後の金額は、それぞれ現在価値が異なるため、必ず

$$ \frac{1}{(1+r)^n} $$

をかけて現在価値に直す必要がある。

毎年同じ金額が発生する部分は、現在価値に直すと

$$ \frac{1}{1+r},\frac{1}{(1+r)^2},\ldots,\frac{1}{(1+r)^{10}} $$

という等比数列になる。この等比数列の和を使うことで、

$$ \frac{\text{毎年の金額}}{r}\left\{1-\frac{1}{(1+r)^{10}}\right\} $$

という形に整理できる。

最後の比較では、「案1の利潤」と「案2の利潤」をそれぞれ現在価値で表し、案1が案2以上になる条件を立てればよい。

答え

(1)

$$ \text{[チ]}=\frac{12}{1+r} $$

$$ \text{[ツ]}=12,\qquad \text{[テ]}=r,\qquad \text{[ト]}=(1+r)^{10} $$

(2)

$$ \text{[ナ]}=101 $$

(3)

$$ \text{[ニ]}=C,\qquad \text{[ヌ]}=r,\qquad \text{[ネ]}=(1+r)^{10} $$

(4)

$$ \text{[ノ]}=12+C,\qquad \text{[ハ]}=r,\qquad \text{[ヒ]}=(1+r)^{10},\qquad \text{[フ]}=100 $$