数学B 数列の和 問題 53 解説

方針・初手

分母に $\sqrt{k}+\sqrt{k+1}$ があるので、有理化して隣り合う項が消える形に変形する。

解法1

各項について、有理化すると

$$ \begin{aligned} \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &= \frac{2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} \end{aligned} $$

である。分母は

$$ (\sqrt{k+1})^2-(\sqrt{k})^2=(k+1)-k=1 $$

となるから、

$$ \begin{aligned} \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &= 2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) \end{aligned} $$

である。

したがって、求める和は

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &= \sum_{k=1}^{n}2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})\\ &= 2{(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})} \end{aligned} $$

となる。

中間の $\sqrt{2},\sqrt{3},\ldots,\sqrt{n}$ がすべて打ち消し合うので、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &= 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{1}) \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &= 2(\sqrt{n+1}-1) \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題は、分母の形 $\sqrt{k}+\sqrt{k+1}$ を見て有理化するのが基本である。

特に

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &= \sqrt{k+1}-\sqrt{k} \end{aligned} $$

となることに気づけば、和は望ましい形に変形される。隣り合う項が次々に消えるので、残るのは最初と最後だけである。

答え

$$ \boxed{2(\sqrt{n+1}-1)} $$