数学B 数列の和 問題 54 解説

方針・初手

各項は、第 $k$ 項を使って統一的に表すと処理しやすい。

第 $1$ 項は $2(2n-1)$、第 $2$ 項は $4(2n-3)$ であるから、第 $k$ 項は

$$ 2k{2n-(2k-1)}=2k(2n-2k+1) $$

と表せる。したがって、求める和はこの第 $k$ 項を $k=1$ から $n$ まで足せばよい。

解法1

求める和を $S$ とおく。

$$ S=2(2n-1)+4(2n-3)+6(2n-5)+\cdots+2n\cdot 1 $$

第 $k$ 項は

$$ 2k(2n-2k+1) $$

であるから、

$$ S=\sum_{k=1}^{n}2k(2n-2k+1) $$

となる。

これを展開して整理する。

$$ \begin{aligned} S &=\sum_{k=1}^{n}2k(2n+1-2k)\\ &=\sum_{k=1}^{n}{2(2n+1)k-4k^2}\\ &=2(2n+1)\sum_{k=1}^{n}k-4\sum_{k=1}^{n}k^2 \end{aligned} $$

ここで、

$$ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} S &=2(2n+1)\cdot \frac{n(n+1)}{2} -4\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ &=n(n+1)(2n+1)-\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1)\\ &=\frac{1}{3}n(n+1)(2n+1) \end{aligned} $$

したがって、

$$ S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{3} $$

である。

解説

この和は、前の因数が $2,4,6,\ldots,2n$ と増え、後ろの因数が $2n-1,2n-3,\ldots,1$ と減っていく形である。

そのため、項をそのまま並べて計算するのではなく、第 $k$ 項を $2k(2n-2k+1)$ と表すのが重要である。あとは $\sum k$ と $\sum k^2$ の公式に帰着する。

答え

$$ \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} $$