数学B 数列の和 問題 55 解説

方針・初手

$a_n$ は $\sqrt{n}$ 以下の最大の整数なので、

$$ a_n=\lfloor \sqrt{n}\rfloor $$

である。したがって、$a_n=k$ となる $n$ の範囲を調べて、同じ値をまとめて足す。

解法1

まず、(1) を求める。

$$ \sqrt{1}=1,\quad \sqrt{2}<2,\quad \sqrt{3}<2,\quad \sqrt{4}=2 $$

より、

$$ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_3=1,\quad a_4=2 $$

である。

次に、(2) を考える。

$a_n=k$ となるのは、

$$ k\leq \sqrt{n}<k+1 $$

となるときである。両辺を2乗して、

$$ k^2\leq n<(k+1)^2 $$

すなわち、

$$ n=k^2,\ k^2+1,\ \cdots,\ (k+1)^2-1 $$

のときである。

この範囲にある整数 $n$ の個数は、

$$ {(k+1)^2-1}-k^2+1=(k+1)^2-k^2=2k+1 $$

である。

ただし、今回は $n=1$ から $n=m^2$ までを足す。したがって、$k=1,2,\ldots,m-1$ については $a_n=k$ となる項が $2k+1$ 個ずつあり、最後に $n=m^2$ のときだけ $a_{m^2}=m$ が1個ある。

よって、

$$ S=\sum_{k=1}^{m-1}k(2k+1)+m $$

である。これを計算する。

$$ \begin{aligned} S &=\sum_{k=1}^{m-1}(2k^2+k)+m\\ &=2\sum_{k=1}^{m-1}k^2+\sum_{k=1}^{m-1}k+m\\ &=2\cdot \frac{(m-1)m(2m-1)}{6}+\frac{(m-1)m}{2}+m\\ &=\frac{(m-1)m(2m-1)}{3}+\frac{(m-1)m}{2}+m\\ &=\frac{2(m-1)m(2m-1)+3(m-1)m+6m}{6}\\ &=\frac{m{2(m-1)(2m-1)+3(m-1)+6}}{6}\\ &=\frac{m(4m^2-3m+5)}{6} \end{aligned} $$

したがって、

$$ S=\frac{m(4m^2-3m+5)}{6} $$

である。

解説

この問題の要点は、$a_n=\lfloor \sqrt{n}\rfloor$ と見抜くことである。

$a_n$ を1つずつ求めるのではなく、$a_n=k$ となる $n$ の範囲

$$ k^2\leq n<(k+1)^2 $$

を使って、同じ値をまとめて数えるのが自然である。

特に、$n$ は $m^2$ までなので、$k=m$ の部分は $n=m^2$ の1項だけである。この端の処理を忘れると誤答になりやすい。

答え

(1)

$$ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_3=1,\quad a_4=2 $$

(2)

$$ S=\frac{m(4m^2-3m+5)}{6} $$