数学B 3項間漸化式 問題 3 解説

方針・初手

漸化式

$$ x_{n+2}=\frac{2}{x_{n+1}}+x_n $$

には分数が含まれるが、$y_n=x_nx_{n+1}$ を考えると、両辺に $x_{n+1}$ をかけることで一次的な漸化式になる。

その後、得られた $x_nx_{n+1}$ の値を用いて $x_{n+2}$ と $x_n$ の関係を作り、奇数番目の項を積で表す。

解法1

まず、$y_n=x_nx_{n+1}$ とおく。

与えられた漸化式の両辺に $x_{n+1}$ をかけると、

$$ x_{n+1}x_{n+2}=2+x_nx_{n+1} $$

となる。左辺は $y_{n+1}$、右辺の $x_nx_{n+1}$ は $y_n$ であるから、

$$ y_{n+1}=y_n+2 $$

を得る。

また、

$$ y_1=x_1x_2=1\cdot 2=2 $$

である。したがって、数列 ${y_n}$ は初項 $2$、公差 $2$ の等差数列であるから、

$$ y_n=2+2(n-1)=2n $$

である。よって、

$$ x_nx_{n+1}=2n $$

がすべての自然数 $n$ について成り立つ。

次に、これを用いて $x_{n+2}$ と $x_n$ の関係を求める。

$$ x_nx_{n+1}=2n $$

より、

$$ \frac{2}{x_{n+1}}=\frac{x_n}{n} $$

である。これをもとの漸化式に代入すると、

$$ x_{n+2} =\frac{2}{x_{n+1}}+x_n =\frac{x_n}{n}+x_n =\frac{n+1}{n}x_n $$

となる。したがって、

$$ x_{n+2}=\frac{n+1}{n}x_n $$

が成り立つ。

最後に、奇数番目の項 $x_{2k+1}$ を求める。上で示した式において $n=1,3,5,\ldots,2k-1$ を順に代入すると、

$$ x_3=\frac{2}{1}x_1,\quad x_5=\frac{4}{3}x_3,\quad x_7=\frac{6}{5}x_5,\quad \ldots,\quad x_{2k+1}=\frac{2k}{2k-1}x_{2k-1} $$

である。これらをすべて掛け合わせると、中間の項が消えて、

$$ x_{2k+1} =\frac{2}{1}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{6}{5}\cdots\frac{2k}{2k-1}x_1 $$

となる。$x_1=1$ であるから、

$$ x_{2k+1} =\frac{2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)} $$

である。

ここで、

$$ 2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k=2^k k! $$

であり、また

$$ (2k)!=(1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1))(2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k) $$

だから、

$$ 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1) =\frac{(2k)!}{2^k k!} $$

である。したがって、

$$ x_{2k+1} =\frac{2^k k!}{\dfrac{(2k)!}{2^k k!}} =\frac{4^k(k!)^2}{(2k)!} $$

となる。

解説

この問題の核心は、もとの漸化式をそのまま扱わず、$x_nx_{n+1}$ という積に注目する点である。

分数型の漸化式

$$ x_{n+2}=\frac{2}{x_{n+1}}+x_n $$

は一見扱いにくいが、両辺に $x_{n+1}$ をかけると

$$ x_{n+1}x_{n+2}=2+x_nx_{n+1} $$

となり、$y_n=x_nx_{n+1}$ によって等差数列に変換できる。

また、(2) は (1) の結果 $x_nx_{n+1}=2n$ を使えばすぐに導ける。ここを独立に処理しようとすると計算が複雑になるため、(1) の結果を利用するのが自然である。

(3) では、$x_{n+2}$ と $x_n$ の関係が得られているので、偶数番目と奇数番目がそれぞれ独立にたどれる。今回は $x_{2k+1}$ を求めるため、$n$ に奇数を代入して積を作ればよい。

答え

(1)

$$ y_n=2n $$

(2)

$$ x_{n+2}=\frac{n+1}{n}x_n $$

(3)

$$ x_{2k+1}=\frac{4^k(k!)^2}{(2k)!} $$