数学B 3項間漸化式 問題 4 解説

方針・初手

漸化式からまず $a_3$ を直接求める。次に $b_n=a_{n+1}-a_n$ とおくと、もとの2項間の差に関する漸化式に変形できる。最後は差の和を用いて $a_n$ を求める。

解法1

$n=1$ を代入すると、

$$ 3a_3-5a_2+2a_1=0 $$

である。$a_1=1,\ a_2=2$ より、

$$ 3a_3-5\cdot 2+2\cdot 1=0 $$

したがって、

$$ 3a_3-8=0 $$

より、

$$ a_3=\frac{8}{3} $$

である。

次に、

$$ b_n=a_{n+1}-a_n $$

とおく。もとの漸化式

$$ 3a_{n+2}-5a_{n+1}+2a_n=0 $$

より、

$$ 3a_{n+2}=5a_{n+1}-2a_n $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=a_{n+2}-a_{n+1} \\ &=\frac{5a_{n+1}-2a_n}{3}-a_{n+1} \\ &=\frac{2a_{n+1}-2a_n}{3} \\ &=\frac{2}{3}(a_{n+1}-a_n) \\ &=\frac{2}{3}b_n \end{aligned} $$

したがって、

$$ b_{n+1}=\frac{2}{3}b_n $$

である。

また、

$$ b_1=a_2-a_1=2-1=1 $$

であるから、数列 ${b_n}$ は初項 $1$、公比 $\dfrac{2}{3}$ の等比数列である。よって、

$$ b_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} $$

である。

ここで、

$$ a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots+(a_n-a_{n-1}) $$

より、

$$ a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} a_n &=1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} \\ &=1+\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}}{1-\frac{2}{3}} \\ &=1+3\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right\} \\ &=4-3\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

よって、

$$ a_n=4-3\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} $$

である。

解説

この問題では、2階線形漸化式をそのまま解くのではなく、差 $b_n=a_{n+1}-a_n$ に注目するのが自然である。

もとの漸化式は

$$ 3a_{n+2}-5a_{n+1}+2a_n=0 $$

であり、係数の和が $3-5+2=0$ となっている。このような場合、差 $a_{n+1}-a_n$ を用いると次数を下げられることが多い。

$b_n$ が等比数列になるため、あとは $a_n$ を差の和として復元すればよい。

答え

(1)

$$ a_3=\frac{8}{3} $$

(2)

$$ b_{n+1}=\frac{2}{3}b_n $$

(3)

$$ a_n=4-3\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} $$