数学B 3項間漸化式 問題 11 解説

方針・初手

漸化式

$$ 5a_{n+2}=a_{n+1}+5a_n $$

は

$$ a_{n+2}-a_n=\frac{1}{5}a_{n+1} $$

と変形できる。この形から、$5a_ka_{k+1}$ の差を考えると $a_k^2$ が現れ、和 $T_n$ と結びつく。

また、正値性や不等式は、漸化式を

$$ a_{n+2}=a_n+\frac{1}{5}a_{n+1} $$

または

$$ 5a_{n+1}=a_n+5a_{n-1} $$

と見ることで示す。

解法1

(1)

$T_n=5a_na_{n+1}$ を示す。

漸化式より、任意の自然数 $k$ に対して

$$ a_{k+2}-a_k=\frac{1}{5}a_{k+1} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} 5a_{k+1}a_{k+2}-5a_ka_{k+1} &=5a_{k+1}(a_{k+2}-a_k) \\ &=5a_{k+1}\cdot \frac{1}{5}a_{k+1} \\ &=a_{k+1}^2 \end{aligned} $$

となる。

これを $k=1,2,\ldots,n-1$ について加えると、左辺は望ましく打ち消し合って

$$ 5a_na_{n+1}-5a_1a_2=\sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1}^2 $$

となる。ここで $a_1=5,\ a_2=1$ より

$$ 5a_1a_2=25=a_1^2 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} 5a_na_{n+1} &=a_1^2+\sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1}^2 \\ &=\sum_{h=1}^{n}a_h^2 \\ &=T_n \end{aligned} $$

である。

よって

$$ T_n=5a_na_{n+1} $$

が示された。

(2)

$a_n>0$ を示す。

初期条件より

$$ a_1=5>0,\qquad a_2=1>0 $$

である。

また、漸化式は

$$ a_{n+2}=a_n+\frac{1}{5}a_{n+1} $$

と書ける。したがって、$a_n>0,\ a_{n+1}>0$ ならば

$$ a_{n+2}=a_n+\frac{1}{5}a_{n+1}>0 $$

である。

よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について

$$ a_n>0 $$

が成り立つ。

(3)

$a_n\leqq 5a_{n+1}$ を示す。

$n=1$ のときは

$$ a_1=5,\qquad 5a_2=5 $$

より

$$ a_1\leqq 5a_2 $$

が成り立つ。

次に $n\geqq 2$ とする。漸化式において添字を $n-1$ とすると

$$ 5a_{n+1}=a_n+5a_{n-1} $$

である。よって

$$ 5a_{n+1}-a_n=5a_{n-1} $$

となる。

(2)より $a_{n-1}>0$ であるから

$$ 5a_{n+1}-a_n>0 $$

すなわち

$$ a_n<5a_{n+1} $$

である。

したがって、すべての自然数 $n$ について

$$ a_n\leqq 5a_{n+1} $$

が成り立つ。

(4)

$5a_{n+1}\leqq 26a_n$ を示し、$T_n\leqq 26a_n^2$ を導く。

$n=1$ のときは

$$ 5a_2=5,\qquad 26a_1=130 $$

より

$$ 5a_2\leqq 26a_1 $$

が成り立つ。

次に $n\geqq 2$ とする。(3)を $n-1$ に適用して

$$ a_{n-1}\leqq 5a_n $$

を得る。漸化式より

$$ a_{n+1}=a_{n-1}+\frac{1}{5}a_n $$

であるから、

$$ a_{n+1}\leqq 5a_n+\frac{1}{5}a_n=\frac{26}{5}a_n $$

となる。したがって

$$ 5a_{n+1}\leqq 26a_n $$

である。

(1)より $T_n=5a_na_{n+1}$ であり、(2)より $a_n>0$ だから、

$$ T_n=5a_na_{n+1}\leqq 26a_n^2 $$

が成り立つ。

解説

この問題の中心は、漸化式をそのまま一般項に解くことではなく、

$$ a_{n+2}-a_n=\frac{1}{5}a_{n+1} $$

という差の形に直し、$5a_na_{n+1}$ の差を作ることである。これにより、平方和 $T_n$ が望ましく望遠和として現れる。

(4) は、(3) をひとつ前の添字に適用して $a_{n-1}\leqq 5a_n$ を得たあと、漸化式

$$ a_{n+1}=a_{n-1}+\frac{1}{5}a_n $$

に代入すればよい。これにより $a_{n+1}\leqq \frac{26}{5}a_n$、すなわち $5a_{n+1}\leqq 26a_n$ が従う。さらに (1) の関係式

$$ T_n=5a_na_{n+1} $$

と組み合わせれば、すぐに

$$ T_n\leqq 26a_n^2 $$

が得られる。

答え

(1)

$$ T_n=5a_na_{n+1} $$

(2)

$$ a_n>0 $$

(3)

$$ a_n\leqq 5a_{n+1} $$

(4)

$$ 5a_{n+1}\leqq 26a_n,\qquad T_n\leqq 26a_n^2 $$