数学B 3項間漸化式 問題 12 解説

方針・初手

この数列はフィボナッチ数列である。漸化式

$$ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n $$

の特性方程式

$$ x^2=x+1 $$

を用いて一般項を出す。また、和に関する部分はフィボナッチ数列の基本的な和の公式を帰納法で確認して使う。

解法1

特性方程式は

$$ x^2-x-1=0 $$

であるから、その2解は

$$ \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\qquad \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2} $$

である。$\alpha>\beta$ より、

$$ \text{ア}=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\qquad \text{イ}=\frac{1-\sqrt{5}}{2} $$

である。

このとき

$$ \alpha+\beta=1,\qquad \alpha\beta=-1 $$

が成り立つ。したがって

$$ \begin{aligned} a_{n+2}-\alpha a_{n+1} &=a_{n+1}+a_n-\alpha a_{n+1} \\ &=(1-\alpha)a_{n+1}+a_n \\ &=\beta a_{n+1}+a_n \\ &=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n) \end{aligned} $$

となり、問題文の形に表せる。

ここで

$$ b_n=a_{n+1}-\alpha a_n $$

とおくと、

$$ b_{n+1}=\beta b_n $$

である。また

$$ b_1=a_2-\alpha a_1=1-\alpha=\beta $$

だから、数列 ${b_n}$ は初項 $\beta$、公比 $\beta$ の等比数列である。

よって

$$ \text{ウ}=\beta,\qquad \text{エ}=\beta $$

である。

したがって

$$ a_{n+1}-\alpha a_n=\beta^n $$

が成り立つ。同様に、$\alpha,\beta$ の役割を入れ替えると

$$ a_{n+1}-\beta a_n=\alpha^n $$

も成り立つ。

この2式を引くと

$$ (\alpha-\beta)a_n=\alpha^n-\beta^n $$

であるから、

$$ a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta} $$

である。したがって

$$ \text{オ}=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta} $$

である。

次に、和の公式を求める。フィボナッチ数列では

$$ \sum_{k=1}^{n}a_k=a_{n+2}-1 $$

が成り立つ。実際、$n=1$ のとき

$$ \sum_{k=1}^{1}a_k=1=a_3-1 $$

で成立する。また、$n$ で成立すると仮定すれば、

$$ \sum_{k=1}^{n+1}a_k=(a_{n+2}-1)+a_{n+1}=a_{n+3}-1 $$

となり、$n+1$ でも成立する。

よって

$$ 1+\sum_{k=1}^{n}a_k=a_{n+2} $$

である。したがって

$$ p=n+2 $$

であり、

$$ \text{カ}=2 $$

である。

次に、$a_n$ がはじめて $2015$ より大きくなる $n$ を調べる。順に計算すると

$$ a_{16}=987,\qquad a_{17}=1597,\qquad a_{18}=2584 $$

であるから、はじめて $2015$ より大きくなるのは

$$ n=18 $$

のときである。したがって

$$ \text{キ}=18 $$

である。

次に、偶数番目の項の和を考える。フィボナッチ数列では

$$ \sum_{k=1}^{j}a_{2k}=a_{2j+1}-1 $$

が成り立つ。したがって、$n=2j+1$ のとき

$$ \begin{aligned} a_n-\sum_{k=1}^{j}a_{2k} &=a_{2j+1}-(a_{2j+1}-1) \\ &=1 \end{aligned} $$

である。よって

$$ \text{ク}=1 $$

である。

次に、奇数番目の項の和を考える。フィボナッチ数列では

$$ \sum_{k=1}^{j}a_{2k-1}=a_{2j} $$

が成り立つ。したがって

$$ \sum_{k=2}^{j}a_{2k-1}=a_{2j}-a_1=a_{2j}-1 $$

である。

$n=2j$ のとき、

$$ \begin{aligned} a_n-\sum_{k=2}^{j}a_{2k-1} &=a_{2j}-(a_{2j}-1) \\ &=1 \end{aligned} $$

である。よって

$$ \text{ケ}=1 $$

である。

最後に、カッシーニの公式を示す。一般項

$$ a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta} $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} a_{n+1}a_{n-1}-a_n^2 &=\frac{(\alpha^{n+1}-\beta^{n+1})(\alpha^{n-1}-\beta^{n-1})-(\alpha^n-\beta^n)^2}{(\alpha-\beta)^2} \\ &=\frac{-\alpha^{n+1}\beta^{n-1}-\alpha^{n-1}\beta^{n+1}+2\alpha^n\beta^n}{(\alpha-\beta)^2} \\ &=\frac{(\alpha\beta)^{n-1}{-(\alpha^2+\beta^2)+2\alpha\beta}}{(\alpha-\beta)^2} \\ &=\frac{-(\alpha\beta)^{n-1}(\alpha-\beta)^2}{(\alpha-\beta)^2} \\ &=-(\alpha\beta)^{n-1} \end{aligned} $$

ここで $\alpha\beta=-1$ だから、

$$ a_{n+1}a_{n-1}-a_n^2=-(-1)^{n-1}=(-1)^n $$

である。したがって

$$ \text{コ}=(-1)^n $$

である。

解説

この問題の中心は、フィボナッチ数列を特性方程式で処理することである。$\alpha,\beta$ を特性方程式の2解として導入すると、一般項

$$ a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta} $$

が得られる。

後半の和の公式は、フィボナッチ数列の典型公式である。

$$ \sum_{k=1}^{n}a_k=a_{n+2}-1 $$

$$ \sum_{k=1}^{j}a_{2k}=a_{2j+1}-1 $$

$$ \sum_{k=1}^{j}a_{2k-1}=a_{2j} $$

これらはすべて漸化式 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ から帰納法で確認できる。最後の式

$$ a_{n+1}a_{n-1}-a_n^2=(-1)^n $$

はカッシーニの公式であり、一般項から直接計算すると確実に導ける。

答え

$$ \text{ア}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} $$

$$ \text{イ}=\frac{1-\sqrt{5}}{2} $$

$$ \text{ウ}=\beta $$

$$ \text{エ}=\beta $$

$$ \text{オ}=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta} $$

$$ \text{カ}=2 $$

$$ \text{キ}=18 $$

$$ \text{ク}=1 $$

$$ \text{ケ}=1 $$

$$ \text{コ}=(-1)^n $$