数学B 2項間漸化式 問題 3 解説

方針・初手

$S_n$ は第 $n$ 項までの和なので、

$$ a_{n+1}=S_{n+1}-S_n $$

である。与えられた漸化式は $S_n$ の式なので、まず $S_n$ を $a_n$ で表し、それを用いて $a_{n+1}$ と $a_n$ の関係式を作る。

解法1

$S_1=0$ であり、$S_1=a_1$ だから、

$$ a_1=0 $$

である。

与えられた式

$$ S_{n+1}-3S_n=n^2 $$

より、

$$ S_{n+1}=3S_n+n^2 $$

である。したがって、

$$ a_{n+1}=S_{n+1}-S_n=2S_n+n^2 $$

となる。

次に、$S_n$ を $a_n$ で表す。$n\geq 2$ のとき、

$$ S_n-3S_{n-1}=(n-1)^2 $$

であり、また

$$ a_n=S_n-S_{n-1} $$

である。よって $S_{n-1}=S_n-a_n$ を代入すると、

$$ S_n-3(S_n-a_n)=(n-1)^2 $$

すなわち、

$$ -2S_n+3a_n=(n-1)^2 $$

である。したがって、

$$ 2S_n=3a_n-(n-1)^2 $$

となる。

これを

$$ a_{n+1}=2S_n+n^2 $$

に代入すると、

$$ a_{n+1}=3a_n-(n-1)^2+n^2 $$

である。ここで

$$ n^2-(n-1)^2=2n-1 $$

だから、

$$ a_{n+1}=3a_n+2n-1 $$

を得る。この式は $n=1$ のときも成り立つので、求める漸化式は

$$ a_1=0,\qquad a_{n+1}=3a_n+2n-1 $$

である。

次に一般項を求める。漸化式

$$ a_{n+1}-3a_n=2n-1 $$

を解く。

右辺が $n$ の一次式なので、特殊解を $a_n=An+B$ とおく。すると、

$$ A(n+1)+B-3(An+B)=2n-1 $$

より、

$$ -2An+(A-2B)=2n-1 $$

である。係数を比較すると、

$$ -2A=2,\qquad A-2B=-1 $$

だから、

$$ A=-1,\qquad B=0 $$

となる。よって特殊解は

$$ a_n=-n $$

である。

一方、同次方程式

$$ a_{n+1}=3a_n $$

の解は

$$ C3^{n-1} $$

である。したがって一般解は

$$ a_n=C3^{n-1}-n $$

である。

初期条件 $a_1=0$ を代入すると、

$$ 0=C-1 $$

より、

$$ C=1 $$

である。したがって、

$$ a_n=3^{n-1}-n $$

を得る。

解説

この問題では、$S_n$ の漸化式から直接 $a_n$ を求めるのではなく、$a_n=S_n-S_{n-1}$ を使って $S_n$ を消去するのが自然である。

ポイントは、

$$ S_n-3S_{n-1}=(n-1)^2 $$

と

$$ a_n=S_n-S_{n-1} $$

を組み合わせることで、$S_n$ を $a_n$ で表せる点である。これにより、$S_n$ の漸化式を $a_n$ の漸化式へ変換できる。

得られる漸化式は、右辺に $n$ を含む形の漸化式であり、右辺が一次式なので、特殊解も一次式とおくのが標準的な処理である。

答え

(1)

$$ a_1=0,\qquad a_{n+1}=3a_n+2n-1 $$

(2)

$$ a_n=3^{n-1}-n $$