数学B 2項間漸化式 問題 8 解説

方針・初手

漸化式

$$ a_{k+1}+ba_k=1 $$

は、一次の非同次漸化式である。定数解を引いて等比数列に直す。ただし、定数解を求めるときに $b=-1$ の場合だけ分母が $0$ になるので、$b\ne -1$ と $b=-1$ に分ける。

解法1

まず $b\ne -1$ の場合を考える。

定数解を $c$ とすると、

$$ c+bc=1 $$

より、

$$ c=\frac{1}{b+1} $$

である。そこで

$$ \begin{aligned} a_{k+1}-\frac{1}{b+1} &= -b\left(a_k-\frac{1}{b+1}\right) \end{aligned} $$

と変形できる。

よって、数列

$$ a_k-\frac{1}{b+1} $$

は初項

$$ \begin{aligned} a_1-\frac{1}{b+1} &= a-\frac{1}{b+1} \end{aligned} $$

公比 $-b$ の等比数列である。したがって、

$$ \begin{aligned} a_k-\frac{1}{b+1} &= \left(a-\frac{1}{b+1}\right)(-b)^{k-1} \end{aligned} $$

となるから、

$$ a_k= \frac{1}{b+1} + \left(a-\frac{1}{b+1}\right)(-b)^{k-1} $$

である。

次に和を求める。$b\ne -1$ のとき、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n a_k &= \sum_{k=1}^n \left\{ \frac{1}{b+1} + \left(a-\frac{1}{b+1}\right)(-b)^{k-1} \right\} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n a_k &= \frac{n}{b+1} + \left(a-\frac{1}{b+1}\right) \sum_{k=1}^n (-b)^{k-1} \end{aligned} $$

となる。等比数列の和より、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n (-b)^{k-1} &= \frac{1-(-b)^n}{1+b} \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n a_k &= \frac{n}{b+1} + \left(a-\frac{1}{b+1}\right) \frac{1-(-b)^n}{b+1} \end{aligned} $$

である。

次に $b=-1$ の場合を考える。

このとき漸化式は

$$ a_{k+1}-a_k=1 $$

となる。したがって、数列 ${a_k}$ は初項 $a$、公差 $1$ の等差数列である。

よって、

$$ a_k=a+k-1 $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n a_k &= \sum_{k=1}^n (a+k-1) \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n a_k &= na+\frac{n(n-1)}{2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は、非同次漸化式をそのまま展開するのではなく、定数解を引いて等比数列に変形することである。

$b\ne -1$ の場合は定数解 $\dfrac{1}{b+1}$ が存在するため、

$$ a_k-\frac{1}{b+1} $$

を新しい数列と見れば、公比 $-b$ の等比数列になる。

一方、$b=-1$ の場合は定数解を使う方法が破綻する。この場合は漸化式そのものが

$$ a_{k+1}-a_k=1 $$

という等差数列の形になるため、別に処理する必要がある。ここを場合分けしないと、分母 $b+1$ が $0$ になる式を使ってしまう。

答え

(1)

$b\ne -1$ のとき、

$$ a_k= \frac{1}{b+1} + \left(a-\frac{1}{b+1}\right)(-b)^{k-1} $$

$b=-1$ のとき、

$$ a_k=a+k-1 $$

(2)

$b\ne -1$ のとき、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n a_k &= \frac{n}{b+1} + \left(a-\frac{1}{b+1}\right) \frac{1-(-b)^n}{b+1} \end{aligned} $$

$b=-1$ のとき、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n a_k &= na+\frac{n(n-1)}{2} \end{aligned} $$