数学C 複素数平面(図形問題) 問題 4 解説

方針・初手

分母に $\overline{z}$ があるので、まず両辺に $\overline{z}$ をかけて、$z\overline{z}=|z|^2$ を利用する。

解法1

与えられた式は

$$ z^2=\frac{7+\sqrt{15}i}{\overline{z}} $$

である。分母に $\overline{z}$ があるので、$\overline{z}\neq 0$、したがって $z\neq 0$ である。

両辺に $\overline{z}$ をかけると、

$$ z^2\overline{z}=7+\sqrt{15}i $$

となる。ここで

$$ z^2\overline{z}=z(z\overline{z})=z|z|^2 $$

であるから、

$$ z|z|^2=7+\sqrt{15}i $$

を得る。

両辺の絶対値をとると、

$$ |z||z|^2=\left|7+\sqrt{15}i\right| $$

である。右辺は

$$ \left|7+\sqrt{15}i\right|=\sqrt{7^2+(\sqrt{15})^2}=\sqrt{49+15}=8 $$

なので、

$$ |z|^3=8 $$

となる。よって

$$ |z|=2 $$

である。

したがって、$|z|^2=4$ だから、

$$ 4z=7+\sqrt{15}i $$

となり、

$$ z=\frac{7+\sqrt{15}i}{4} $$

である。

よって、実部は $\dfrac{7}{4}$、虚部は $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ である。

解説

この問題では、$z^2\overline{z}$ をそのまま展開しようとするのではなく、

$$ z^2\overline{z}=z(z\overline{z})=z|z|^2 $$

と見るのが重要である。

また、絶対値をとることで $|z|$ が先に求まり、その後に $z$ 自体を求められる。共役複素数が出る問題では、$z\overline{z}=|z|^2$ を使う形に変形できるかをまず確認するとよい。

答え

実部は

$$ \frac{7}{4} $$

虚部は

$$ \frac{\sqrt{15}}{4} $$