数学C 複素数平面(図形問題) 問題 5 解説

方針・初手

まず $b_1,b_2,b_3$ を直接計算し、3点を通る円を求める。

その後、$b_n$ 自身の漸化式を作る。$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ より、$b_n$ は

$$ b_{n+1}=1+\frac{1}{b_n} $$

を満たす。この変換が、求めた円を円自身に移すことを示せばよい。

解法1

まず $b_1,b_2,b_3$ を求める。

$$ a_1=1,\quad a_2=i,\quad a_3=1+i,\quad a_4=1+2i $$

であるから、

$$ b_1=\frac{a_2}{a_1}=i $$

$$ b_2=\frac{a_3}{a_2}=\frac{1+i}{i}=1-i $$

$$ b_3=\frac{a_4}{a_3}=\frac{1+2i}{1+i}=\frac{(1+2i)(1-i)}{2}=\frac{3+i}{2} $$

したがって、3点はそれぞれ複素数平面上で

$$ i=(0,1),\quad 1-i=(1,-1),\quad \frac{3+i}{2}=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right) $$

に対応する。

円 $C$ の中心を $(p,q)$ とする。この3点からの距離が等しいので、

$$ p^2+(1-q)^2=(1-p)^2+(-1-q)^2 $$

より、

$$ p-2q=\frac{1}{2} $$

また、

$$ p^2+(1-q)^2=\left(\frac{3}{2}-p\right)^2+\left(\frac{1}{2}-q\right)^2 $$

より、

$$ 3p-q=\frac{3}{2} $$

これらを連立すると、

$$ p=\frac{1}{2},\quad q=0 $$

である。よって円 $C$ の中心は

$$ \frac{1}{2} $$

である。

半径は、例えば点 $i$ との距離を用いて

$$ \left|i-\frac{1}{2}\right| =\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+1^2} =\frac{\sqrt{5}}{2} $$

である。したがって円 $C$ は

$$ \left|z-\frac{1}{2}\right|=\frac{\sqrt{5}}{2} $$

で表される。

次に、すべての $b_n$ がこの円周上にあることを示す。

定義より

$$ b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n} $$

である。また、漸化式 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ を用いると、

$$ b_{n+1} =\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} =\frac{a_{n+1}+a_n}{a_{n+1}} =1+\frac{a_n}{a_{n+1}} =1+\frac{1}{b_n} $$

を得る。

ここで、円 $C$ の方程式を変形しておく。複素数 $z$ が円 $C$ 上にあることは

$$ \left|z-\frac{1}{2}\right|^2=\frac{5}{4} $$

と同値である。これを展開すると、

$$ |z|^2-\operatorname{Re}z+\frac{1}{4}=\frac{5}{4} $$

より、

$$ |z|^2-\operatorname{Re}z=1 $$

である。

いま、ある $n$ について $b_n$ が円 $C$ 上にあると仮定する。$z=b_n$ とおくと、

$$ |z|^2-\operatorname{Re}z=1 $$

が成り立つ。また $0$ は円 $C$ 上にないので $z\neq 0$ である。

このとき

$$ b_{n+1}=1+\frac{1}{z} $$

であるから、

$$ b_{n+1}-\frac{1}{2} =\frac{1}{2}+\frac{1}{z} =\frac{z+2}{2z} $$

となる。したがって

$$ \left|b_{n+1}-\frac{1}{2}\right|^2 =\frac{|z+2|^2}{4|z|^2} $$

である。

ここで、

$$ |z+2|^2 =|z|^2+4\operatorname{Re}z+4 $$

であり、$|z|^2-\operatorname{Re}z=1$ から $\operatorname{Re}z=|z|^2-1$ である。よって

$$ |z+2|^2 =|z|^2+4(|z|^2-1)+4 =5|z|^2 $$

となる。したがって

$$ \left|b_{n+1}-\frac{1}{2}\right|^2 =\frac{5|z|^2}{4|z|^2} =\frac{5}{4} $$

である。

ゆえに

$$ \left|b_{n+1}-\frac{1}{2}\right| =\frac{\sqrt{5}}{2} $$

となり、$b_{n+1}$ も円 $C$ 上にある。

一方、最初に求めた通り $b_1,b_2,b_3$ は円 $C$ 上にある。特に $b_1$ は円 $C$ 上にあるので、上の議論を帰納的に用いることにより、すべての $n=1,2,\cdots$ について $b_n$ は円 $C$ の周上にある。

解説

ポイントは、$a_n$ の漸化式をそのまま扱うのではなく、比 $b_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ の漸化式に直すことである。

$$ b_{n+1}=1+\frac{1}{b_n} $$

という形になるため、複素数平面上の変換

$$ z\mapsto 1+\frac{1}{z} $$

が登場する。この変換が円

$$ \left|z-\frac{1}{2}\right|=\frac{\sqrt{5}}{2} $$

を保つことを示せば、すべての $b_n$ が同じ円周上にあることが分かる。

円の方程式を

$$ \left|z-\frac{1}{2}\right|=\frac{\sqrt{5}}{2} $$

のまま使うより、

$$ |z|^2-\operatorname{Re}z=1 $$

と変形しておくと、計算が簡潔になる。

答え

(1)

円 $C$ の中心は

$$ \frac{1}{2} $$

半径は

$$ \frac{\sqrt{5}}{2} $$

である。

(2)

すべての $n=1,2,\cdots$ について

$$ \left|b_n-\frac{1}{2}\right|=\frac{\sqrt{5}}{2} $$

が成り立つ。したがって、すべての点 $b_n$ は円 $C$ の周上にある。