数学C 複素数平面(図形問題) 問題 7 解説

方針・初手

偏角 $\arg \dfrac{z_2}{z_1}$ は商を直接計算すればよい。

また、原点を通る直線に関する対称移動は、直線の偏角を $\theta$ とすると、複素数 $z$ が

$$ z \mapsto e^{2i\theta}\overline{z} $$

に移ることを用いる。

解法1

まず、

$$ z_1=1+2i,\qquad z_2=-1+3i $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{z_2}{z_1} &= \frac{-1+3i}{1+2i}\\ &= \frac{(-1+3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} \end{aligned} $$

である。分母は

$$ (1+2i)(1-2i)=1+4=5 $$

であり、分子は

$$ (-1+3i)(1-2i) = -1+2i+3i-6i^2 5+5i $$

である。よって

$$ \frac{z_2}{z_1}=1+i $$

となる。

$1+i$ は第1象限にあり、実部と虚部が等しいので、

$$ \arg \frac{z_2}{z_1} = \frac{\pi}{4} $$

である。

次に、点 $P$ を直線 $OQ$ に関して対称移動した点を $R$ とする。直線 $OQ$ は複素数 $z_2=-1+3i$ の表す方向をもつ。

直線 $OQ$ の偏角を $\theta$ とすると、

$$ e^{i\theta}=\frac{z_2}{|z_2|} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} e^{2i\theta} &= \frac{z_2^2}{|z_2|^2}\\ &= \frac{z_2}{\overline{z_2}} \end{aligned} $$

となる。したがって、対称移動後の複素数は

$$ \frac{z_2}{\overline{z_2}}\overline{z_1} $$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} \frac{z_2}{\overline{z_2}} &= \frac{-1+3i}{-1-3i}\\ &= \frac{(-1+3i)^2}{|-1+3i|^2} \end{aligned} $$

であり、

$$ (-1+3i)^2 = 1-6i-9 -8-6i $$

また、

$$ |-1+3i|^2=1+9=10 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{z_2}{\overline{z_2}} &= \frac{-8-6i}{10}\\ &= \frac{-4-3i}{5} \end{aligned} $$

となる。

さらに、

$$ \overline{z_1}=1-2i $$

なので、

$$ \frac{z_2}{\overline{z_2}}\overline{z_1} = \frac{-4-3i}{5}(1-2i) $$

である。これを計算すると、

$$ (-4-3i)(1-2i) = -4+8i-3i+6i^2 -10+5i $$

より、

$$ \frac{-10+5i}{5} = -2+i $$

である。

したがって、点 $R$ を表す複素数は

$$ -2+i $$

である。

解法2

点 $P,Q$ を座標で考える。

$$ P(1,2),\qquad Q(-1,3) $$

である。直線 $OQ$ は原点を通り、方向ベクトル

$$ \vec{u}=(-1,3) $$

をもつ。

点 $P$ の位置ベクトルを

$$ \vec{p}=(1,2) $$

とする。$\vec{p}$ の直線 $OQ$ への正射影を $\vec{h}$ とすると、

$$ \vec{h} = \frac{\vec{p}\cdot \vec{u}}{\vec{u}\cdot \vec{u}}\vec{u} $$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} \vec{p}\cdot \vec{u} &= 1\cdot(-1)+2\cdot3\\ &= 5 \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \vec{u}\cdot \vec{u} &= (-1)^2+3^2\\ &= 10 \end{aligned} $$

であるから、

$$ \vec{h} = \frac{5}{10}(-1,3) \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) $$

となる。

$R$ は $P$ を直線 $OQ$ に関して対称移動した点であるから、射影点を $H$ とすると $H$ は $PR$ の中点である。よって

$$ \vec{r}=2\vec{h}-\vec{p} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \vec{r} &= 2\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)-(1,2)\\ &= (-1,3)-(1,2)\\ &= (-2,1) \end{aligned} $$

となる。

ゆえに、点 $R$ を表す複素数は

$$ -2+i $$

である。

解説

$\arg \dfrac{z_2}{z_1}$ は、複素数平面上で「$z_1$ から $z_2$ への偏角の差」を表すが、この問題では商を計算するのが最も速い。

対称移動については、複素数の公式

$$ z \mapsto e^{2i\theta}\overline{z} $$

を使うと簡潔に処理できる。ただし、この公式を覚えていない場合でも、座標平面で正射影を使えば確実に求められる。

答え

$$ \boxed{\arg\frac{z_2}{z_1}=\frac{\pi}{4}} $$

$$ \boxed{R=-2+i} $$