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数学C 複素数平面(図形問題) 問題 6 解説

方針・初手

複素数平面で、点 $C(\gamma)$ を基準にして考える。すなわち、$\alpha-\gamma$ と $\beta-\gamma$ を比較すれば、点 $C$ から見た $A,B$ の位置関係が分かる。

与式は $\alpha,\beta,\gamma$ の係数の和が $0$ になっているため、$\alpha-\gamma,\beta-\gamma$ の形に整理できる。

解法1

与式

$$ (3+9i)\alpha-(8+4i)\beta+(5-5i)\gamma=0 $$

において、係数の和を確認すると

$$ (3+9i)-(8+4i)+(5-5i)=0 $$

である。したがって、$\alpha-\gamma,\beta-\gamma$ を用いて

$$ (3+9i)(\alpha-\gamma)-(8+4i)(\beta-\gamma)=0 $$

と書ける。

よって

$$ (8+4i)(\beta-\gamma)=(3+9i)(\alpha-\gamma) $$

である。$A,B,C$ は相異なる点なので、$\alpha-\gamma\neq 0$ であるから、

$$ \frac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma} = \frac{3+9i}{8+4i} $$

となる。右辺を計算すると、

$$ \frac{3+9i}{8+4i} = \frac{(3+9i)(8-4i)}{(8+4i)(8-4i)} $$

である。分母は

$$ 8^2+4^2=80 $$

であり、分子は

$$ (3+9i)(8-4i)=24-12i+72i+36=60+60i $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \frac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma} &= \frac{60+60i}{80}\\ &= \frac{3}{4}+\frac{3}{4}i \end{aligned} $$

となる。

したがって、$\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}$ の実部と虚部はそれぞれ

$$ \frac{3}{4},\quad \frac{3}{4} $$

である。

次に、この比の幾何的意味を考える。複素数

$$ \frac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma} $$

は、ベクトル $\overrightarrow{CA}$ を何倍に拡大し、どれだけ回転すれば $\overrightarrow{CB}$ になるかを表す。

ここで

$$ \begin{aligned} \frac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma} &= \frac{3}{4}+\frac{3}{4}i\\ &= \frac{3}{4}(1+i) \end{aligned} $$

であるから、その偏角は

$$ \arg(1+i)=\frac{\pi}{4} $$

である。したがって、

$$ \angle ACB=\frac{\pi}{4} $$

である。

また、大きさは

$$ \left|\frac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\right| = \left|\frac{3}{4}+\frac{3}{4}i\right| \sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^2} \frac{3\sqrt{2}}{4} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \frac{BC}{AC} &= \frac{|\beta-\gamma|}{|\alpha-\gamma|}\\ &= \frac{3\sqrt{2}}{4} \end{aligned} $$

となる。

最後に、

$$ \frac{AB}{AC} = \frac{|\beta-\alpha|}{|\alpha-\gamma|} $$

を求める。

$$ \beta-\alpha = (\beta-\gamma)-(\alpha-\gamma) $$

より、

$$ \frac{\beta-\alpha}{\alpha-\gamma} = \frac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}-1 $$

である。したがって

$$ \frac{AB}{AC} = \left| \frac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}-1 \right| $$

となる。すでに

$$ \frac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma} = \frac{3}{4}+\frac{3}{4}i $$

であるから、

$$ \frac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}-1 = -\frac{1}{4}+\frac{3}{4}i $$

である。よって

$$ \frac{AB}{AC} = \left|-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}i\right| \sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^2} \frac{\sqrt{10}}{4} $$

である。

解説

この問題では、与式をそのまま処理するのではなく、点 $C$ を基準にして $\alpha-\gamma,\beta-\gamma$ の比を作ることが重要である。

特に、係数の和が

$$ (3+9i)-(8+4i)+(5-5i)=0 $$

となっているため、自然に

$$ (3+9i)(\alpha-\gamma)-(8+4i)(\beta-\gamma)=0 $$

と変形できる。この形にできれば、あとは

$$ \frac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma} $$

の実部・虚部・絶対値・偏角を読めばよい。

$\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}$ は、$C$ を始点とするベクトル $\overrightarrow{CA}$ から $\overrightarrow{CB}$ への拡大回転を表す。したがって、その偏角が $\angle ACB$、絶対値が $\dfrac{BC}{AC}$ に対応する。

また、$\dfrac{AB}{AC}$ は

$$ \frac{|\beta-\alpha|}{|\alpha-\gamma|} $$

であり、$\beta-\alpha=(\beta-\gamma)-(\alpha-\gamma)$ を使って、すでに求めた比から処理できる。