数学C 複素数平面(図形問題) 問題 11 解説

方針・初手

(1) の左辺を因数分解し、その結果を (2), (3) に利用する。特に (2), (3) は絶対値を1つの実数として置けば、(1) と同じ不等式に帰着できる。

解法1

まず

$$ x^4-2x^3-x+2 $$

を因数分解する。

$$ \begin{aligned} x^4-2x^3-x+2 &=x^3(x-2)-1(x-2)\\ &=(x-2)(x^3-1)\\ &=(x-2)(x-1)(x^2+x+1) \end{aligned} $$

ここで

$$ x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0 $$

であるから、不等式

$$ x^4-2x^3-x+2\leqq 0 $$

は

$$ (x-2)(x-1)\leqq 0 $$

と同値である。

したがって

$$ 1\leqq x\leqq 2 $$

である。

次に (2) を考える。$r=|z|$ とおくと、$r\geqq 0$ であり、不等式は

$$ r^4-2r^3-r+2\leqq 0 $$

となる。

これは (1) と同じ形なので、

$$ 1\leqq r\leqq 2 $$

である。よって

$$ 1\leqq |z|\leqq 2 $$

となる。

したがって、求める範囲は複素数平面上で原点を中心とする半径 $1$ 以上 $2$ 以下の円環である。境界の円 $|z|=1,\ |z|=2$ も含む。

最後に (3) を考える。

$$ w=z-iz-1-i $$

とおくと、不等式は

$$ |w|^4-2|w|^3-|w|+2\leqq 0 $$

となる。

(1) と同じ結果より、

$$ 1\leqq |w|\leqq 2 $$

である。ここで

$$ \begin{aligned} w &=z-iz-1-i\\ &=(1-i)z-(1+i) \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} |w| &=|(1-i)z-(1+i)|\\ &=|(1-i)(z-i)|\\ &=|1-i||z-i|\\ &=\sqrt2|z-i| \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ 1\leqq \sqrt2|z-i|\leqq 2 $$

であり、各辺を $\sqrt2$ で割ると

$$ \frac{1}{\sqrt2}\leqq |z-i|\leqq \sqrt2 $$

を得る。

したがって、求める範囲は複素数平面上で点 $i$、すなわち座標 $(0,1)$ を中心とする半径 $\frac{1}{\sqrt2}$ 以上 $\sqrt2$ 以下の円環である。境界の円も含む。

解説

この問題の中心は、まず4次式

$$ x^4-2x^3-x+2 $$

を因数分解することである。

因数分解によって

$$ x^4-2x^3-x+2=(x-2)(x-1)(x^2+x+1) $$

となり、$x^2+x+1$ が常に正であることから、実質的には $(x-2)(x-1)$ の符号だけを調べればよい。

(2) では $|z|$ を実数 $r$ と見ればよい。(3) では $|z-iz-1-i|$ を1つの実数として見たあと、複素数の絶対値の形を整理して、中心と半径を読み取る。

特に (3) では

$$ z-iz-1-i=(1-i)(z-i) $$

と変形できる点が重要である。これにより、中心が原点ではなく $i$ に移動した円環であることが分かる。

答え

(1)

$$ 1\leqq x\leqq 2 $$

(2)

$$ 1\leqq |z|\leqq 2 $$

すなわち、原点中心、半径 $1$ 以上 $2$ 以下の円環。境界を含む。

(3)

$$ \frac{1}{\sqrt2}\leqq |z-i|\leqq \sqrt2 $$

すなわち、点 $i$ を中心とする半径 $\frac{1}{\sqrt2}$ 以上 $\sqrt2$ 以下の円環。境界を含む。