数学C 複素数平面(図形問題) 問題 12 解説

方針・初手

直線上の点は、2点を結ぶ方向ベクトルの実数倍で表せる。複素数平面では、$z$ と $\overline{z}$ を同時に扱うことで、実数条件を式に変換する。

垂直二等分線は「2点からの距離が等しい点の集合」として表すのが最も直接的である。

解法1

(1)

異なる2点 $w_1,w_2$ を通る直線上の点 $z$ は、$w_1$ から $w_2-w_1$ 方向へ実数倍だけ進んだ点であるから、実数 $t$ を用いて

$$ z=w_1+t(w_2-w_1) \quad (t\in\mathbb{R}) $$

と表される。

同値に、

$$ z=(1-t)w_1+tw_2 \quad (t\in\mathbb{R}) $$

としてもよい。

(2)

(1)より

$$ z-w_1=t(w_2-w_1) $$

である。両辺の共役をとると、$t$ は実数であるから

$$ \overline{z}-\overline{w_1}=t(\overline{w_2}-\overline{w_1}) $$

となる。

ここで $w_1\neq w_2$ より $w_2-w_1\neq 0$ である。したがって

$$ \frac{z-w_1}{w_2-w_1} = \frac{\overline{z}-\overline{w_1}}{\overline{w_2}-\overline{w_1}} $$

が成り立つ。

分母を払うと、

$$ (\overline{w_2}-\overline{w_1})(z-w_1) = (w_2-w_1)(\overline{z}-\overline{w_1}) $$

である。よって、$z$ と $\overline{z}$ の関係式は

$$ \begin{aligned} (\overline{w_2}-\overline{w_1})z &= (w_2-w_1)\overline{z} \\ (\overline{w_2}-\overline{w_1})w_1 \\ (w_2-w_1)\overline{w_1} \end{aligned} $$

である。

(3)

$w_1,w_2$ を結ぶ線分の垂直二等分線上の点を $z$ とする。この点は $w_1,w_2$ から等距離にあるので、

$$ |z-w_1|=|z-w_2| $$

を満たす。

両辺を2乗して、

$$ (z-w_1)(\overline{z}-\overline{w_1}) = (z-w_2)(\overline{z}-\overline{w_2}) $$

となる。これを展開すると、

$$ z\overline{z}-z\overline{w_1}-w_1\overline{z}+|w_1|^2 = z\overline{z}-z\overline{w_2}-w_2\overline{z}+|w_2|^2 $$

である。

両辺の $z\overline{z}$ が消えて、

$$ (\overline{w_2}-\overline{w_1})z+(w_2-w_1)\overline{z} = |w_2|^2-|w_1|^2 $$

を得る。

したがって、垂直二等分線は

$$ \alpha z+\beta \overline{z}=\gamma $$

の形で

$$ \alpha=\overline{w_2}-\overline{w_1},\qquad \beta=w_2-w_1,\qquad \gamma=|w_2|^2-|w_1|^2 $$

と表される。

(4)

$\triangle OAB$ の外心に対応する複素数を $z$ とする。外心は $O,A,B$ から等距離にある点である。

まず、$O$ と $A(w)$ の垂直二等分線を考える。(3)において $w_1=0,\ w_2=w$ とすると、

$$ \overline{w}z+w\overline{z}=|w|^2 $$

を得る。

次に、$O$ と $B(\overline{w})$ の垂直二等分線を考える。(3)において $w_1=0,\ w_2=\overline{w}$ とすると、

$$ wz+\overline{w},\overline{z}=|w|^2 $$

を得る。

外心 $z$ はこの2本の垂直二等分線の交点であるから、

$$ \begin{cases} \overline{w}z+w\overline{z}=|w|^2 \\ wz+\overline{w},\overline{z}=|w|^2 \end{cases} $$

を満たす。

2式を引くと、

$$ (\overline{w}-w)z+(w-\overline{w})\overline{z}=0 $$

すなわち

$$ (\overline{w}-w)(z-\overline{z})=0 $$

である。

点 $A(w)$ は実軸上にないので $w\neq \overline{w}$ である。よって

$$ z=\overline{z} $$

となり、外心は実軸上にある。

これを

$$ \overline{w}z+w\overline{z}=|w|^2 $$

に代入すると、$z=\overline{z}$ より

$$ (w+\overline{w})z=|w|^2 $$

となる。

また、点 $A(w)$ は虚軸上にないので $w+\overline{w}\neq 0$ である。したがって

$$ z=\frac{|w|^2}{w+\overline{w}} $$

である。

$|w|^2=w\overline{w}$ だから、外心に対応する複素数は

$$ \frac{w\overline{w}}{w+\overline{w}} $$

である。

解説

直線上の点を複素数で扱うときは、「方向を表す複素数の実数倍」と考えるのが基本である。$t$ が実数であることを利用して共役をとると、$z$ と $\overline{z}$ の関係式に変換できる。

垂直二等分線については、傾きや回転を使うよりも、$|z-w_1|=|z-w_2|$ から出発する方が確実である。展開すれば $z\overline{z}$ が消え、一次式になる。

外心は各辺の垂直二等分線の交点である。今回の $A(w)$ と $B(\overline{w})$ は実軸対称な点なので、外心も実軸上にある。この対称性は計算の途中で $z=\overline{z}$ として現れる。

答え

(1)

$$ z=w_1+t(w_2-w_1) \quad (t\in\mathbb{R}) $$

(2)

$$ \begin{aligned} (\overline{w_2}-\overline{w_1})z &= (w_2-w_1)\overline{z} \\ (\overline{w_2}-\overline{w_1})w_1 \\ (w_2-w_1)\overline{w_1} \end{aligned} $$

(3)

$$ (\overline{w_2}-\overline{w_1})z+(w_2-w_1)\overline{z} = |w_2|^2-|w_1|^2 $$

すなわち、

$$ \alpha=\overline{w_2}-\overline{w_1},\qquad \beta=w_2-w_1,\qquad \gamma=|w_2|^2-|w_1|^2 $$

(4)

$$ \frac{w\overline{w}}{w+\overline{w}} $$