数学C 複素数平面(図形問題) 問題 13 解説

方針・初手

複素数平面では、差 $\beta-\alpha$ がベクトル $\overrightarrow{AB}$、差 $\gamma-\alpha$ がベクトル $\overrightarrow{AC}$ を表す。与式をこの2つの差が出る形に変形し、回転と長さの関係を読む。

解法1

与式

$$ \gamma+i\beta=\alpha(1+i) $$

を変形する。

$$ \gamma+i\beta=\alpha+i\alpha $$

より、

$$ \gamma-\alpha=i(\alpha-\beta) $$

である。さらに $\alpha-\beta=-(\beta-\alpha)$ だから、

$$ \gamma-\alpha=-i(\beta-\alpha) $$

となる。

ここで、複素数平面上で $\beta-\alpha$ はベクトル $\overrightarrow{AB}$、$\gamma-\alpha$ はベクトル $\overrightarrow{AC}$ を表す。したがって、

$$ \overrightarrow{AC}=-i\overrightarrow{AB} $$

と見なせる。

複素数に $-i$ をかけることは、長さを変えずに $90^\circ$ 時計回りに回転する操作である。よって、

$$ |\gamma-\alpha|=|\beta-\alpha| $$

であり、また $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は直交する。

したがって、

$$ AB=AC $$

かつ

$$ \angle BAC=90^\circ $$

である。

また、$\alpha,\beta,\gamma$ は異なる3つの複素数なので、$A,B,C$ は互いに異なる点であり、三角形は退化しない。

以上より、三角形 $ABC$ は $A$ を直角の頂点とする直角二等辺三角形である。

解説

この問題では、与式をそのまま実部・虚部に分けるよりも、$\beta-\alpha$ や $\gamma-\alpha$ の形を作るのが自然である。

複素数平面では、ある点から別の点へのベクトルは複素数の差で表される。また、$i$ をかけると $90^\circ$ 反時計回り、$-i$ をかけると $90^\circ$ 時計回りに回転する。今回の式は

$$ \gamma-\alpha=-i(\beta-\alpha) $$

となるので、$\overrightarrow{AB}$ を $90^\circ$ 回転したものが $\overrightarrow{AC}$ であると読める。

よって、長さが等しく、かつ直交することから、三角形の形が決まる。

答え

三角形 $ABC$ は、$A$ を直角の頂点とする直角二等辺三角形である。