数学C 複素数平面(図形問題) 問題 16 解説

方針・初手

与えられた等式は、点 $A,B,C$ の位置そのものではなく、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の関係を表している。そこで

$$ \beta-\alpha,\qquad \gamma-\alpha $$

を用いて式を整理する。

解法1

与えられた等式

$$ (2+\sqrt{3}+i)\alpha+(1-i)\gamma=(3+\sqrt{3})\beta $$

において、

$$ \beta=\alpha+(\beta-\alpha),\qquad \gamma=\alpha+(\gamma-\alpha) $$

とおく。

これを代入すると、

$$ (2+\sqrt{3}+i)\alpha+(1-i){\alpha+(\gamma-\alpha)} =(3+\sqrt{3}){\alpha+(\beta-\alpha)} $$

である。両辺の $\alpha$ の係数は

$$ 2+\sqrt{3}+i+1-i=3+\sqrt{3} $$

で一致するので消え、

$$ (1-i)(\gamma-\alpha)=(3+\sqrt{3})(\beta-\alpha) $$

を得る。したがって

$$ \gamma-\alpha=\frac{3+\sqrt{3}}{1-i}(\beta-\alpha) $$

である。

ここで

$$ \frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2} $$

より、

$$ \gamma-\alpha=\frac{3+\sqrt{3}}{2}(1+i)(\beta-\alpha) $$

となる。

複素数 $1+i$ は偏角 $45^\circ$、絶対値 $\sqrt{2}$ をもつ。係数 $\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$ は正の実数なので、$\overrightarrow{AB}$ から $\overrightarrow{AC}$ への回転角は $45^\circ$ である。

よって

$$ \angle A=45^\circ $$

である。

また、

$$ \frac{AC}{AB} = \left|\frac{3+\sqrt{3}}{2}(1+i)\right| \frac{3+\sqrt{3}}{2}\sqrt{2} \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $$

である。したがって

$$ AB:AC=1:\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} =\sqrt{2}:3+\sqrt{3} $$

である。

次に $\angle B$ を求める。相似な配置にしてよいので、$A$ を原点、$B$ を $1$ に対応させる。すると

$$ C=\frac{3+\sqrt{3}}{2}(1+i) $$

とおける。

よって、点 $B$ から見たベクトル $\overrightarrow{BC}$ は

$$ C-B = \left(\frac{3+\sqrt{3}}{2}-1\right)+\frac{3+\sqrt{3}}{2}i \frac{1+\sqrt{3}}{2}+\frac{3+\sqrt{3}}{2}i $$

である。このベクトルの傾きは

$$ \begin{aligned} \frac{\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}} &= \frac{3+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\\ &= \sqrt{3} \end{aligned} $$

であるから、$\overrightarrow{BC}$ は正の実軸となす角が $60^\circ$ である。

一方、$\overrightarrow{BA}$ は負の実軸方向であるから、正の実軸となす角は $180^\circ$ である。したがって

$$ \angle B=180^\circ-60^\circ=120^\circ $$

である。

次に、$\alpha=1+i,\ \beta=3+i$ のときを考える。

点 $A$ を中心として点 $B$ を $60^\circ$ だけ反時計回りに回転した点を $D$ とする。点 $D$ を表す複素数を $\delta$ とすると、

$$ \delta=\alpha+\left(\cos60^\circ+i\sin60^\circ\right)(\beta-\alpha) $$

である。

ここで

$$ \beta-\alpha=(3+i)-(1+i)=2 $$

だから、

$$ \begin{aligned} \delta &=1+i+\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\cdot 2\\ &=1+i+1+\sqrt{3}i\\ &=2+(1+\sqrt{3})i \end{aligned} $$

である。

また、先ほどの関係式より

$$ \gamma-\alpha=\frac{3+\sqrt{3}}{2}(1+i)(\beta-\alpha) $$

である。いま $\beta-\alpha=2$ なので、

$$ \gamma-\alpha=(3+\sqrt{3})(1+i) $$

となる。したがって直線 $AC$ は、点 $A(1,1)$ を通り、方向ベクトルが $(1,1)$ の直線である。つまり直線 $AC$ は

$$ y=x $$

である。

点 $D$ は

$$ D\left(2,\ 1+\sqrt{3}\right) $$

であるから、直線 $y=x$ に関して対称な点は、座標を入れ替えて

$$ \left(1+\sqrt{3},\ 2\right) $$

である。

したがって、その点を表す複素数は

$$ 1+\sqrt{3}+2i $$

である。

解説

この問題の中心は、与えられた等式を点の位置ではなくベクトルの関係として読み替えることである。

等式を $\beta-\alpha,\ \gamma-\alpha$ で整理すると、

$$ \gamma-\alpha=\frac{3+\sqrt{3}}{2}(1+i)(\beta-\alpha) $$

となる。この式から、$\overrightarrow{AB}$ を $45^\circ$ 回転し、長さを $\dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 倍すると $\overrightarrow{AC}$ になることが分かる。

後半では、回転は

$$ z\mapsto \alpha+e^{i\theta}(z-\alpha) $$

を使う。直線 $AC$ についての対称移動は、今回は直線 $AC$ が $y=x$ になるため、座標を入れ替えればよい。

答え

$$ \angle A=45^\circ,\qquad \angle B=120^\circ $$

$$ AB:AC=\sqrt{2}:3+\sqrt{3} $$

したがって

$$ \boxed{\text{ア}=45,\quad \text{イ}=120,\quad \text{ウ}=3+\sqrt{3}} $$

また、

$$ \boxed{\text{エ}=2+(1+\sqrt{3})i} $$

$$ \boxed{\text{オ}=1+\sqrt{3}+2i} $$