数学C 複素数平面(図形問題) 問題 17 解説

方針・初手

正三角形を複素数平面で扱うときは、辺のベクトルを $60^\circ$ 回転させればよい。

まず三角形 $OAB$ の向きを確認する。$A$ を表す複素数を $a=2-4\sqrt{3}i$、$B$ を表す複素数を $b=3+\sqrt{3}i$ とすると、

$$ \operatorname{Im}(\overline{a}b)=14\sqrt{3}>0 $$

であるから、$O \to A \to B$ は反時計回りである。したがって、三角形 $OAB$ の外側は、各辺を $O \to A \to B \to O$ の向きに見たときの右側である。

右側に $60^\circ$ 回転させる複素数は

$$ \omega=\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) =\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i $$

である。

解法1

点 $L,M,N$ を表す複素数をそれぞれ $l,m,n$ とする。

辺 $AB$ をもとに外側へ正三角形 $ALB$ を作るので、

$$ l=a+(b-a)\omega $$

である。ここで

$$ b-a=(3+\sqrt{3}i)-(2-4\sqrt{3}i)=1+5\sqrt{3}i $$

だから、

$$ \begin{aligned} l &=2-4\sqrt{3}i+(1+5\sqrt{3}i)\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\ &=2-4\sqrt{3}i+(8+2\sqrt{3}i)\\ &=10-2\sqrt{3}i \end{aligned} $$

となる。

次に、辺 $BO$ をもとに外側へ正三角形 $BMO$ を作るので、

$$ m=b+(0-b)\omega $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} m &=3+\sqrt{3}i+(-3-\sqrt{3}i)\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\ &=3+\sqrt{3}i+(-3+\sqrt{3}i)\\ &=2\sqrt{3}i \end{aligned} $$

となる。

また、辺 $OA$ をもとに外側へ正三角形 $ONA$ を作るので、

$$ n=0+(a-0)\omega=a\omega $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} n &=(2-4\sqrt{3}i)\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\ &=-5-3\sqrt{3}i \end{aligned} $$

となる。

次に、直線 $OL$ と直線 $AM$ の交点を $P$ とし、$P$ を表す複素数を $p$ とする。

点 $P$ は直線 $OL$ 上にあるから、実数 $t$ を用いて

$$ p=tl $$

と表せる。また、点 $P$ は直線 $AM$ 上にあるから、実数 $u$ を用いて

$$ p=a+u(m-a) $$

と表せる。

したがって、

$$ t(10-2\sqrt{3}i)=2-4\sqrt{3}i+u(-2+6\sqrt{3}i) $$

である。実部と虚部を比較すると、

$$ \begin{cases} 10t=2-2u\\ -2t=-4+6u \end{cases} $$

を得る。これを解くと、

$$ t=\frac{1}{14},\qquad u=\frac{9}{14} $$

である。よって、

$$ p=\frac{1}{14}(10-2\sqrt{3}i) =\frac{5}{7}-\frac{\sqrt{3}}{7}i $$

となる。

最後に、$B,P,N$ が一直線上にあることを示す。

$$ b-n=(3+\sqrt{3}i)-(-5-3\sqrt{3}i) =8+4\sqrt{3}i $$

また、

$$ \begin{aligned} p-n &=\left(\frac{5}{7}-\frac{\sqrt{3}}{7}i\right)-(-5-3\sqrt{3}i)\\ &=\frac{40}{7}+\frac{20\sqrt{3}}{7}i\\ &=\frac{5}{7}(8+4\sqrt{3}i)\\ &=\frac{5}{7}(b-n) \end{aligned} $$

である。したがって、$p-n$ は $b-n$ の実数倍であるから、点 $B,P,N$ は一直線上にある。

解説

正三角形を作る問題では、複素数の回転を使うのが最も自然である。特に、外側か内側かによって $60^\circ$ 回転の向きが変わるため、最初に三角形 $OAB$ の向きを確認することが重要である。

交点 $P$ は、直線上の点を実数パラメータで表すことで求められる。複素数のまま処理してもよいが、実部と虚部を比較すれば連立一次方程式に帰着する。

一直線上にあることの証明では、2つのベクトルが実数倍であることを示せばよい。ここでは

$$ p-n=\frac{5}{7}(b-n) $$

が成り立つため、$B,P,N$ の共線性がただちに従う。

答え

(1)

$$ L:10-2\sqrt{3}i,\qquad M:2\sqrt{3}i,\qquad N:-5-3\sqrt{3}i $$

(2)

$$ P:\frac{5}{7}-\frac{\sqrt{3}}{7}i $$

(3)

$$ p-n=\frac{5}{7}(b-n) $$

より、$B,P,N$ は一直線上にある。