数学C 複素数平面(図形問題) 問題 18 解説

方針・初手

複素数平面では、点の差がベクトルを表す。したがって、三角形や四角形の性質は、隣り合う頂点の差を使って表せる。

(1)

では、$A$ を基準にして

$$ \beta-\alpha,\quad \gamma-\alpha $$

を考える。正三角形であることは、一方の辺ベクトルを $\pm 60^\circ$ 回転させると他方になることと同値である。

(2)

では、正方形は平行四辺形であり、さらに隣り合う2辺が等しく直交することを使う。複素数で $90^\circ$ 回転することは、$i$ または $-i$ を掛けることに対応する。

解法1

(1) 正三角形の条件

まず

$$ u=\beta-\alpha,\quad v=\gamma-\alpha $$

とおく。$\triangle ABC$ が三角形であるから、$u\neq 0$ である。

与えられた式を $u,v$ で表す。$\beta=\alpha+u,\ \gamma=\alpha+v$ より、

$$ \begin{aligned} &\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha \\ &=\alpha^2+(\alpha+u)^2+(\alpha+v)^2-\alpha(\alpha+u)-(\alpha+u)(\alpha+v)-(\alpha+v)\alpha \\ &=u^2+v^2-uv. \end{aligned} $$

したがって、示すべき条件は

$$ u^2+v^2-uv=0 $$

と書き換えられる。

ここで $u\neq 0$ なので、両辺を $u^2$ で割ると

$$ \left(\frac{v}{u}\right)^2-\frac{v}{u}+1=0 $$

となる。$z=\dfrac{v}{u}$ とおけば、

$$ z^2-z+1=0 $$

である。これを解くと、

$$ z=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2} $$

である。

すなわち、

$$ \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = \frac{1+\sqrt{3}i}{2} \quad\text{または}\quad \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = \frac{1-\sqrt{3}i}{2} $$

である。

ここで

$$ \frac{1+\sqrt{3}i}{2}=\cos 60^\circ+i\sin 60^\circ, \quad \frac{1-\sqrt{3}i}{2}=\cos 60^\circ-i\sin 60^\circ $$

である。よって、ベクトル $\overrightarrow{AC}$ は、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ を $60^\circ$ または $-60^\circ$ 回転したものであり、長さも等しい。

したがって

$$ AB=AC,\quad \angle BAC=60^\circ $$

となるので、$\triangle ABC$ は正三角形である。

逆に、$\triangle ABC$ が正三角形であるとする。このとき、$A$ を基準に見れば、$\overrightarrow{AC}$ は $\overrightarrow{AB}$ を $60^\circ$ または $-60^\circ$ 回転したものであるから、

$$ \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = \frac{1+\sqrt{3}i}{2} \quad\text{または}\quad \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = \frac{1-\sqrt{3}i}{2} $$

である。いずれの場合も $z=\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ は

$$ z^2-z+1=0 $$

を満たす。

よって

$$ \begin{aligned} \left(\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\right)^2 &= \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} +1=0 \end{aligned} $$

であり、両辺に $(\beta-\alpha)^2$ を掛けると、

$$ (\gamma-\alpha)^2-(\gamma-\alpha)(\beta-\alpha)+(\beta-\alpha)^2=0 $$

となる。これは

$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha=0 $$

に等しい。

以上より、$\triangle ABC$ が正三角形であるための必要十分条件は

$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha=0 $$

である。

(2) 正方形の条件

四角形 $ABCD$ が正方形であるとする。

正方形は平行四辺形であるから、対角線の中点が一致する。したがって、

$$ \frac{\alpha+\gamma}{2}=\frac{\beta+\delta}{2} $$

である。よって

$$ \alpha+\gamma=\beta+\delta $$

が成り立つ。

次に、正方形では隣り合う2辺 $AB,AD$ の長さが等しく、互いに直交する。複素数で表すと、

$$ \overrightarrow{AB}=\beta-\alpha,\quad \overrightarrow{AD}=\delta-\alpha $$

である。

$90^\circ$ 回転は $i$ または $-i$ を掛けることに対応するので、

$$ \delta-\alpha=i(\beta-\alpha) \quad\text{または}\quad \delta-\alpha=-i(\beta-\alpha) $$

である。したがって、

$$ \left(\frac{\delta-\alpha}{\beta-\alpha}\right)^2=-1 $$

であり、両辺に $(\beta-\alpha)^2$ を掛けて

$$ (\delta-\alpha)^2+(\beta-\alpha)^2=0 $$

を得る。

よって、正方形であれば

$$ \alpha+\gamma=\beta+\delta,\quad (\delta-\alpha)^2+(\beta-\alpha)^2=0 $$

が成り立つ。

逆に、

$$ \alpha+\gamma=\beta+\delta $$

かつ

$$ (\delta-\alpha)^2+(\beta-\alpha)^2=0 $$

が成り立つとする。

まず、

$$ \alpha+\gamma=\beta+\delta $$

より、

$$ \gamma-\beta=\delta-\alpha $$

である。これは

$$ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD} $$

を意味する。したがって、四角形 $ABCD$ は平行四辺形である。

また、四角形であるから $\beta\neq\alpha$ である。よって、$(\beta-\alpha)^2\neq 0$ であるから、

$$ (\delta-\alpha)^2=-(\beta-\alpha)^2 $$

より、

$$ \left(\frac{\delta-\alpha}{\beta-\alpha}\right)^2=-1 $$

となる。したがって、

$$ \frac{\delta-\alpha}{\beta-\alpha}=i \quad\text{または}\quad \frac{\delta-\alpha}{\beta-\alpha}=-i $$

である。

これは、辺 $AD$ が辺 $AB$ を $90^\circ$ または $-90^\circ$ 回転したものを表す。よって、

$$ AB=AD,\quad AB\perp AD $$

である。

したがって、四角形 $ABCD$ は、隣り合う2辺が等しく直交する平行四辺形である。ゆえに $ABCD$ は正方形である。

以上より、四角形 $ABCD$ が正方形であるための必要十分条件は

$$ \alpha+\gamma=\beta+\delta,\quad (\delta-\alpha)^2+(\beta-\alpha)^2=0 $$

である。

解説

この問題の中心は、複素数の差をベクトルとして扱うことである。

(1)

では、$A$ を基準にして $\beta-\alpha,\gamma-\alpha$ を比較すると、正三角形の条件は「長さが等しく、偏角の差が $\pm 60^\circ$」である。これを

$$ \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = \frac{1\pm \sqrt{3}i}{2} $$

と表すと、すぐに

$$ z^2-z+1=0 $$

につながる。これが与えられた対称的な式に対応している。

(2)

では、正方形を一度に扱おうとせず、「平行四辺形であること」と「隣り合う2辺が等しく直交すること」に分けるのが自然である。

条件

$$ \alpha+\gamma=\beta+\delta $$

は対角線の中点が一致すること、つまり平行四辺形の条件である。

また、

$$ (\delta-\alpha)^2+(\beta-\alpha)^2=0 $$

は

$$ \frac{\delta-\alpha}{\beta-\alpha}=\pm i $$

を意味し、隣り合う辺が $90^\circ$ 回転の関係にあることを表している。

答え

(1)

$\triangle ABC$ が正三角形であるための必要十分条件は

$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha=0 $$

である。

(2)

四角形 $ABCD$ が正方形であるための必要十分条件は

$$ \alpha+\gamma=\beta+\delta,\quad (\delta-\alpha)^2+(\beta-\alpha)^2=0 $$

である。