数学C 複素数平面(図形問題) 問題 20 解説

方針・初手

複素平面では，複素数に $i$ をかけることは原点を中心とする $90^\circ$ の反時計回りの回転を表す。

図の配置では，三角形 $ABC$ の外側に作った正方形は，辺 $AB,BC,CA$ をそれぞれ $A\to B,\ B\to C,\ C\to A$ と進む向きに対して右側にある。したがって，辺ベクトルに $-i$ をかけたものを加えれば，外側の頂点を表せる。

解法1

まず，点 $A,B,C$ を表す複素数をそれぞれ $\alpha,\beta,\gamma$ とする。

正方形 $ABEF$ について，辺 $AB$ のベクトルは $\beta-\alpha$ である。外側へ向かう辺 $AF$ は，これを $90^\circ$ 時計回りに回転したものなので，

$$ F=\alpha-i(\beta-\alpha) $$

である。よって

$$ F=\alpha+i(\alpha-\beta) $$

である。

同様に，正方形 $BCGH$ について，辺 $BC$ のベクトルは $\gamma-\beta$ であり，外側へ向かう辺 $BH$ はこれを $90^\circ$ 時計回りに回転したものだから，

$$ H=\beta-i(\gamma-\beta) $$

すなわち

$$ H=\beta+i(\beta-\gamma) $$

である。

また，正方形 $CAIJ$ について，辺 $CA$ のベクトルは $\alpha-\gamma$ であり，外側へ向かう辺 $CJ$ はこれを $90^\circ$ 時計回りに回転したものだから，

$$ J=\gamma-i(\alpha-\gamma) $$

すなわち

$$ J=\gamma+i(\gamma-\alpha) $$

である。

次に，三つの正方形の中心 $P,Q,R$ を求める。

正方形 $ABEF$ の中心 $P$ は，対角線 $AE$ の中点である。ここで

$$ E=\beta+i(\alpha-\beta) $$

だから，

$$ P=\frac{\alpha+E}{2} =\frac{\alpha+\beta+i(\alpha-\beta)}{2} $$

である。

同様に，正方形 $BCGH$ の中心 $Q$ は

$$ Q=\frac{\beta+\gamma+i(\beta-\gamma)}{2} $$

であり，正方形 $CAIJ$ の中心 $R$ は

$$ R=\frac{\gamma+\alpha+i(\gamma-\alpha)}{2} $$

である。

ここで，線分 $AQ$ を表す複素数は

$$ Q-\alpha = \frac{\beta+\gamma+i(\beta-\gamma)}{2}-\alpha $$

より，

$$ Q-\alpha = \frac{\beta+\gamma-2\alpha+i(\beta-\gamma)}{2} $$

である。

一方，線分 $PR$ を表す複素数は

$$ \begin{aligned} R-P = \frac{\gamma+\alpha+i(\gamma-\alpha)}{2} \\ \frac{\alpha+\beta+i(\alpha-\beta)}{2} \end{aligned} $$

である。整理すると，

$$ \begin{aligned} R-P &= \frac{\gamma-\beta+i(\gamma-\alpha-\alpha+\beta)}{2} \\ &= \frac{\gamma-\beta+i(\beta+\gamma-2\alpha)}{2} \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ X=\beta+\gamma-2\alpha,\qquad Y=\beta-\gamma $$

とおくと，

$$ Q-\alpha=\frac{X+iY}{2} $$

であり，また $\gamma-\beta=-Y$ だから

$$ R-P=\frac{-Y+iX}{2} $$

である。

ところが，

$$ \begin{aligned} i(Q-\alpha) &= i\cdot \frac{X+iY}{2}\\ &= \frac{iX-Y}{2}\\ &= \frac{-Y+iX}{2} \end{aligned} $$

より，

$$ R-P=i(Q-\alpha) $$

が成り立つ。

複素数に $i$ をかけることは，長さを変えずに $90^\circ$ 反時計回りに回転することを表す。したがって，

$$ |R-P|=|Q-\alpha| $$

であり，線分 $PR$ と線分 $AQ$ は垂直である。

よって，

$$ AQ=PR,\qquad AQ\perp PR $$

が示された。

解説

この問題の中心は，複素平面における「$i$ 倍は $90^\circ$ 回転」という性質を正方形の頂点と中心に使うことである。

外側に作った正方形なので，辺ベクトルをどちら向きに $90^\circ$ 回転するかが重要である。図の配置では，$A\to B,\ B\to C,\ C\to A$ の向きに対して右側に正方形が作られているため，辺ベクトルに $-i$ をかけて外側の方向を表す。

後半では，中心 $P,Q,R$ を複素数で表し，$Q-\alpha$ と $R-P$ を比較する。最終的に

$$ R-P=i(Q-\alpha) $$

となるため，$PR$ は $AQ$ を $90^\circ$ 回転したものだと分かる。これにより，長さが等しいことと垂直であることが同時に示される。

答え

(1)

$$ F=\alpha+i(\alpha-\beta) $$

$$ H=\beta+i(\beta-\gamma) $$

$$ J=\gamma+i(\gamma-\alpha) $$

(2)

三つの正方形の中心を

$$ P=\frac{\alpha+\beta+i(\alpha-\beta)}{2} $$

$$ Q=\frac{\beta+\gamma+i(\beta-\gamma)}{2} $$

$$ R=\frac{\gamma+\alpha+i(\gamma-\alpha)}{2} $$

と表すと，

$$ R-P=i(Q-\alpha) $$

が成り立つ。

したがって，

$$ AQ=PR,\qquad AQ\perp PR $$

である。