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数学C 複素数平面(図形問題) 問題 21 解説

方針・初手

垂直二等分線は「両端からの距離が等しい点の集合」である。したがって、線分 $OA$ の垂直二等分線は $|z|=|z-\alpha|$ から式を作る。

外心は $O,A,B$ から等距離にある点なので、線分 $OA$ と $OB$ の垂直二等分線の交点として求めればよい。

解法1

(1)

線分 $OA$ の垂直二等分線上の点を表す複素数を $z$ とする。この点は $O$ と $A$ から等距離にあるから、

$$ |z|=|z-\alpha| $$

である。両辺を2乗すると、

$$ z\overline{z}=(z-\alpha)(\overline{z}-\overline{\alpha}) $$

となる。右辺を展開して整理すると、

$$ z\overline{z} = z\overline{z} -\overline{\alpha}z -\alpha\overline{z} +\alpha\overline{\alpha} $$

であるから、

$$ \overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}-\alpha\overline{\alpha}=0 $$

を得る。よって、線分 $OA$ の垂直二等分線上の点を表す複素数 $z$ は

$$ \overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}-\alpha\overline{\alpha}=0 $$

を満たす。

(2)

$\triangle OAB$ の外心を表す複素数を $w$ とする。外心は線分 $OA$ と線分 $OB$ の垂直二等分線の交点である。

(1)

より、線分 $OA$ の垂直二等分線は

$$ \overline{\alpha}w+\alpha\overline{w}=\alpha\overline{\alpha} $$

である。同様に、線分 $OB$ の垂直二等分線は

$$ \overline{\beta}w+\beta\overline{w}=\beta\overline{\beta} $$

である。

したがって、$w,\overline{w}$ についての連立一次方程式

$$ \begin{cases} \overline{\alpha}w+\alpha\overline{w}=\alpha\overline{\alpha},\\ \overline{\beta}w+\beta\overline{w}=\beta\overline{\beta} \end{cases} $$

を解けばよい。

係数行列の行列式は

$$ \overline{\alpha}\beta-\alpha\overline{\beta} $$

である。三角形 $OAB$ は一直線上にないので、この値は $0$ でない。

クラメルの公式より、

$$ w= \frac{ \alpha\overline{\alpha}\beta-\alpha\beta\overline{\beta} }{ \overline{\alpha}\beta-\alpha\overline{\beta} } $$

である。分子を整理すると、

$$ \alpha\overline{\alpha}\beta-\alpha\beta\overline{\beta} = \alpha\beta(\overline{\alpha}-\overline{\beta}) $$

だから、外心を表す複素数は

$$ w= \frac{\alpha\beta(\overline{\alpha}-\overline{\beta})} {\overline{\alpha}\beta-\alpha\overline{\beta}} $$

である。

(3)

外心を表す複素数が $\alpha+\beta$ であるとする。(2) の結果より、

$$ \alpha+\beta = \frac{\alpha\beta(\overline{\alpha}-\overline{\beta})} {\overline{\alpha}\beta-\alpha\overline{\beta}} $$

である。

ここで

$$ t=\frac{\beta}{\alpha} $$

とおく。三角形 $OAB$ が成り立つので、$\alpha\neq 0$ であり、また $t$ は実数ではない。

$\beta=t\alpha$，$\overline{\beta}=\overline{t},\overline{\alpha}$ を代入すると、

$$ \alpha+\beta=\alpha(1+t) $$

であり、また外心の式は

$$ \frac{\alpha\beta(\overline{\alpha}-\overline{\beta})} {\overline{\alpha}\beta-\alpha\overline{\beta}} = \frac{\alpha\cdot t\alpha\cdot \overline{\alpha}(1-\overline{t})} {\overline{\alpha}\cdot t\alpha-\alpha\cdot \overline{t},\overline{\alpha}} = \alpha\frac{t(1-\overline{t})}{t-\overline{t}} $$

となる。

したがって、

$$ \alpha(1+t) = \alpha\frac{t(1-\overline{t})}{t-\overline{t}} $$

である。$\alpha\neq 0$ より、

$$ 1+t = \frac{t(1-\overline{t})}{t-\overline{t}} $$

である。

両辺に $t-\overline{t}$ をかけると、

$$ (1+t)(t-\overline{t})=t(1-\overline{t}) $$

である。展開すると、

$$ t-\overline{t}+t^2-t\overline{t} = t-t\overline{t} $$

だから、

$$ t^2=\overline{t} $$

を得る。

$t\neq 0$ なので、$t=re^{i\theta}$ とおく。ただし $r>0$ である。このとき

$$ t^2=\overline{t} $$

は

$$ r^2e^{2i\theta}=re^{-i\theta} $$

となる。よって、

$$ re^{3i\theta}=1 $$

であるから、

$$ r=1,\qquad e^{3i\theta}=1 $$

を得る。

したがって、

$$ t=1,\ e^{\frac{2\pi i}{3}},\ e^{\frac{4\pi i}{3}} $$

である。ただし $t=1$ のときは $\beta=\alpha$ となり、三角形 $OAB$ が成り立たないので除く。

ゆえに、

$$ \frac{\beta}{\alpha} = e^{\frac{2\pi i}{3}} \quad\text{または}\quad e^{\frac{4\pi i}{3}} $$

である。すなわち、

$$ \frac{\beta}{\alpha} = -\frac12+\frac{\sqrt{3}}{2}i \quad\text{または}\quad -\frac12-\frac{\sqrt{3}}{2}i $$

である。

解説

この問題では、複素平面上の図形条件を距離条件に直して処理することが重要である。

垂直二等分線は、端点からの距離が等しい点の集合であるため、$|z|=|z-\alpha|$ から直接式を作れる。外心も同様に、各頂点から等距離にある点であるから、2本の垂直二等分線の交点として求める。

(3)

では $\beta/\alpha$ を直接求めるために、$t=\beta/\alpha$ とおいて比だけの条件に直すのが有効である。すると $\alpha$ の大きさや偏角に依存しない式になり、$t^2=\overline{t}$ から $t$ が $1$ の3乗根であることが分かる。ただし $t=1$ は三角形がつぶれるので除外する必要がある。