数学C 平面ベクトル 問題 17 解説

方針・初手

まずベクトルの条件を座標で書き下す。すると点 $P$ の軌跡は円になる。

次に、$\triangle PAC$ の面積は、底辺 $AC$ を固定したとき点 $P$ から直線 $AC$ までの距離に比例する。したがって、円周上の点から直線 $AC$ までの距離が最大になる点を求めればよい。

解法1

点 $P$ を $P(x,y)$ とする。

各ベクトルは

$$ \overrightarrow{OP}=(x,y),\quad \overrightarrow{OA}=(3,0),\quad \overrightarrow{OB}=(2,2),\quad \overrightarrow{OC}=(4,1) $$

であるから、

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} =(3,0)+(2,2)+(4,1)=(9,3) $$

となる。

したがって、

$$ 3\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC} =(3x,3y)-(9,3) =(3x-9,3y-3) $$

である。条件

$$ \left|3\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\right|=3 $$

より、

$$ \sqrt{(3x-9)^2+(3y-3)^2}=3 $$

となる。両辺を $3$ で割ると、

$$ \sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}=1 $$

であるから、求める方程式は

$$ (x-3)^2+(y-1)^2=1 $$

である。

次に、$\triangle PAC$ の面積を求める。点 $A(3,0)$、点 $C(4,1)$ より、

$$ \overrightarrow{AC}=(1,1),\quad \overrightarrow{AP}=(x-3,y) $$

である。

よって、$\triangle PAC$ の面積 $S$ は

$$ S=\frac{1}{2}\left|\det \begin{pmatrix} x-3 & y\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right| $$

となる。したがって、

$$ S=\frac{1}{2}|(x-3)-y| =\frac{1}{2}|x-y-3| $$

である。

ここで、点 $P$ は

$$ (x-3)^2+(y-1)^2=1 $$

上を動く。そこで

$$ u=x-3,\quad v=y-1 $$

とおくと、

$$ u^2+v^2=1 $$

であり、

$$ x-y-3=(u+3)-(v+1)-3=u-v-1 $$

となる。よって、面積を最大にするには

$$ |u-v-1| $$

を最大にすればよい。

ここで、$u^2+v^2=1$ のもとで、コーシー・シュワルツの不等式より

$$ |u-v| \leqq \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{1^2+(-1)^2} =\sqrt{2} $$

である。したがって、

$$ -\sqrt{2}\leqq u-v\leqq \sqrt{2} $$

となる。

よって

$$ u-v-1 $$

の範囲は

$$ -1-\sqrt{2}\leqq u-v-1\leqq -1+\sqrt{2} $$

である。この範囲で絶対値が最大になるのは

$$ u-v-1=-1-\sqrt{2} $$

のときであり、その最大値は

$$ 1+\sqrt{2} $$

である。

等号成立条件は

$$ (u,v) $$

が $(1,-1)$ と逆向きであることである。すなわち

$$ (u,v)=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $$

である。

したがって、

$$ x=3+u=3-\frac{1}{\sqrt{2}},\quad y=1+v=1+\frac{1}{\sqrt{2}} $$

となる。

よって、$\triangle PAC$ の面積を最大にする点 $P$ の座標は

$$ \left(3-\frac{1}{\sqrt{2}},\ 1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $$

である。

解説

ベクトル条件は、まず座標成分で処理するのが最も素直である。今回の条件は

$$ 3\overrightarrow{OP}-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}) $$

という形なので、$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ を先にまとめると、円の方程式に直結する。

面積の最大化では、$\triangle PAC$ の底辺 $AC$ が固定されているため、実質的には点 $P$ から直線 $AC$ までの距離の最大化である。計算上は

$$ S=\frac{1}{2}|x-y-3| $$

まで落とせば、円周上で一次式の絶対値を最大化する問題になる。

答え

(1)

$$ (x-3)^2+(y-1)^2=1 $$

(2)

$$ P\left(3-\frac{1}{\sqrt{2}},\ 1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $$