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北海道大学 2024年理系第4問解説

方針・初手

(1) ベクトルの差の大きさの2乗を展開し、与えられた内積やベクトルの大きさの条件を代入して方程式を立てる。
(2) 角の二等分線と辺の比の性質を利用し、内心 $I$ を2つの線分の交点として捉えて位置ベクトルを求める。
(3) 内接円と三角形の辺の接点に関する性質（円外の1点から引いた2本の接線の長さは等しい）を用いて $OH$ の長さを求め、$\overrightarrow{HI} = \overrightarrow{OI} - \overrightarrow{OH}$ から計算する。

解法1

(1)

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ であるから、この両辺の大きさの2乗をとると、

$$ |\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}|^2 $$

$$ |\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{OB}|^2 - 2 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OA}|^2 $$

となる。問題で与えられた条件 $|\overrightarrow{OA}| = 3$、 $|\overrightarrow{AB}| = 5$、 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 10$ を代入すると、

$$ 5^2 = |\overrightarrow{OB}|^2 - 2 \times 10 + 3^2 $$

$$ 25 = |\overrightarrow{OB}|^2 - 20 + 9 $$

$$ |\overrightarrow{OB}|^2 = 36 $$

辺の長さであるから $|\overrightarrow{OB}| > 0$ であり、

$$ |\overrightarrow{OB}| = 6 $$

したがって、辺 $OB$ の長さは 6 である。

(2)

$\angle AOB$ の二等分線と直線 $AB$ の交点を $D$ とする。線分 $OD$ は $\angle AOB$ の二等分線であるから、

$$ AD : DB = OA : OB = 3 : 6 = 1 : 2 $$

が成り立つ。よって、点 $D$ の位置ベクトル $\overrightarrow{OD}$ は、

$$ \overrightarrow{OD} = \frac{2 \overrightarrow{OA} + 1 \overrightarrow{OB}}{1 + 2} = \frac{2}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OB} $$

となる。また、内心 $I$ は線分 $OD$ 上にあり、直線 $AI$ は $\angle OAB$ の二等分線であるから、

$$ OI : ID = OA : AD $$

が成り立つ。ここで、線分 $AD$ の長さは $AD = \frac{1}{3} AB = \frac{5}{3}$ であるから、

$$ OI : ID = 3 : \frac{5}{3} = 9 : 5 $$

となる。したがって、内心 $I$ は線分 $OD$ を $9 : 5$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OI} = \frac{9}{9 + 5} \overrightarrow{OD} = \frac{9}{14} \left( \frac{2}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OB} \right) = \frac{3}{7} \overrightarrow{OA} + \frac{3}{14} \overrightarrow{OB} $$

(3)

内接円と辺 $OB$、$AB$ との接点をそれぞれ $K, J$ とする。円外の点から円に引いた2本の接線の長さは等しいので、

$$ OH = OK, \quad AH = AJ, \quad BK = BJ $$

が成り立つ。ここで、$OH = x$ とおくと、点 $H$ は辺 $OA$ 上の点であるから、

$$ AH = OA - OH = 3 - x $$

これより $AJ = 3 - x$ となる。同様に、点 $K$ は辺 $OB$ 上の点であるから、

$$ BK = OB - OK = 6 - x $$

これより $BJ = 6 - x$ となる。辺 $AB$ の長さについて $AB = AJ + BJ$ が成り立つから、

$$ (3 - x) + (6 - x) = 5 $$

$$ 9 - 2x = 5 $$

$$ 2x = 4 $$

したがって $x = 2$ となり、$OH = 2$ である。点 $H$ は辺 $OA$ を $2 : 1$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OH} = \frac{2}{3} \overrightarrow{OA} $$

となる。以上より、

$$ \overrightarrow{HI} = \overrightarrow{OI} - \overrightarrow{OH} $$

$$ \overrightarrow{HI} = \left( \frac{3}{7} \overrightarrow{OA} + \frac{3}{14} \overrightarrow{OB} \right) - \frac{2}{3} \overrightarrow{OA} $$

$$ \overrightarrow{HI} = \left( \frac{3}{7} - \frac{2}{3} \right) \overrightarrow{OA} + \frac{3}{14} \overrightarrow{OB} $$

$$ \overrightarrow{HI} = -\frac{5}{21} \overrightarrow{OA} + \frac{3}{14} \overrightarrow{OB} $$

解説

平面ベクトルにおける内心の位置ベクトルを求める典型問題である。内心 $I$ は各頂点からの角の二等分線の交点であることを利用して、内分点の公式を2回適用することで導出できる。また、三角形の各辺の長さと各頂点の位置ベクトルを用いた公式 $\overrightarrow{OI} = \frac{a \overrightarrow{OA} + b \overrightarrow{OB} + c \overrightarrow{OC}}{a+b+c}$ を知っていれば、直接的に求めることも可能である。

(3) では、内心から各辺に下ろした垂線の足が内接円の接点となることと、三角形の頂点から接点までの距離に関する性質を用いる。接線の長さを未知数として方程式を立てる手法は、図形と計量の問題において頻出の手法である。最後に得られたベクトル $\overrightarrow{HI}$ が辺 $OA$ と垂直であること、すなわち $\overrightarrow{HI} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ となることを確認することで、計算ミスを防ぐことができる。