九州大学 2023年 文系 第3問 解説

方針・初手

(1) はベクトルが平行であることの定義または性質を用いて成分計算から示します。必要性と十分性の両方を示す必要があることに注意しましょう。 (2) は未知のベクトル $\vec{v}, \vec{w}$ の成分を変数でおき、与えられた内積の条件から連立方程式を立てて解きます。 (3) は (2) で得られた条件 $\vec{m} \cdot \vec{v} = 1, \vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ などが「あるベクトルを取り出す」操作として機能することに気づけるかどうかがポイントです。等式の両辺で特定の内積をとります。

解法1

(1)

$\vec{m}$ と $\vec{n}$ は $\vec{0}$ ではないため、$\vec{m}$ と $\vec{n}$ が平行であることと、ある実数 $k$ を用いて $\vec{n} = k\vec{m}$ と表せることは同値である。

まず、$\vec{m}$ と $\vec{n}$ が平行であるとき、$D = 0$ となること（必要性）を示す。 $\vec{n} = k\vec{m}$ より、成分で比較すると、

$$ (b, d) = (ka, kc) $$

よって、$b = ka, d = kc$ となる。このとき $D$ を計算すると、

$$ D = ad - bc = a(kc) - (ka)c = 0 $$

となり成り立つ。

逆に、$D = 0$ のとき、$\vec{m}$ と $\vec{n}$ が平行であること（十分性）を示す。 $D = ad - bc = 0$ とする。$\vec{m} \neq \vec{0}$ であるから、$a \neq 0$ または $c \neq 0$ である。

(i) $a \neq 0$ のとき $d = \frac{bc}{a}$ となる。このとき、

$$ \vec{n} = (b, d) = \left(b, \frac{bc}{a}\right) = \frac{b}{a}(a, c) = \frac{b}{a}\vec{m} $$

となり、$\vec{m}$ と $\vec{n}$ は平行である。

(ii) $c \neq 0$ のとき $b = \frac{ad}{c}$ となる。このとき、

$$ \vec{n} = (b, d) = \left(\frac{ad}{c}, d\right) = \frac{d}{c}(a, c) = \frac{d}{c}\vec{m} $$

となり、$\vec{m}$ と $\vec{n}$ は平行である。

(i), (ii) より、いずれの場合も $\vec{m}$ と $\vec{n}$ は平行である。 以上より、$\vec{m}$ と $\vec{n}$ が平行であるための必要十分条件は $D = 0$ であることが示された。

(2)

$\vec{v} = (v_1, v_2), \vec{w} = (w_1, w_2)$ とおく。 条件 $\vec{m} \cdot \vec{v} = 1, \vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ より、成分を用いて表すと以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} av_1 + cv_2 = 1 \\ bv_1 + dv_2 = 0 \end{cases} $$

1つ目の式に $d$ を、2つ目の式に $c$ を掛けて辺々引くと、

$$ (ad - bc)v_1 = d $$

$D = ad - bc \neq 0$ であるから、

$$ v_1 = \frac{d}{D} $$

同様に、1つ目の式に $b$ を、2つ目の式に $a$ を掛けて辺々引くと、

$$ (bc - ad)v_2 = b $$

$$ -Dv_2 = b \iff v_2 = -\frac{b}{D} $$

したがって、$\vec{v} = \left(\frac{d}{D}, -\frac{b}{D}\right)$ となる。

次に、条件 $\vec{m} \cdot \vec{w} = 0, \vec{n} \cdot \vec{w} = 1$ より、同様に連立方程式を立てる。

$$ \begin{cases} aw_1 + cw_2 = 0 \\ bw_1 + dw_2 = 1 \end{cases} $$

これを先ほどと同様に解くと、

$$ (ad - bc)w_1 = -c \implies w_1 = -\frac{c}{D} $$

$$ (bc - ad)w_2 = -a \implies w_2 = \frac{a}{D} $$

したがって、$\vec{w} = \left(-\frac{c}{D}, \frac{a}{D}\right)$ となる。

(3)

与えられた等式

$$ r\vec{m} + s\vec{n} = \vec{q} $$

の両辺において、$\vec{v}$ との内積をとる。

$$ (r\vec{m} + s\vec{n}) \cdot \vec{v} = \vec{q} \cdot \vec{v} $$

内積の性質を用いて展開すると、

$$ r(\vec{m} \cdot \vec{v}) + s(\vec{n} \cdot \vec{v}) = \vec{q} \cdot \vec{v} $$

(2) の条件より $\vec{m} \cdot \vec{v} = 1, \vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ であるから、

$$ r \cdot 1 + s \cdot 0 = \vec{q} \cdot \vec{v} $$

$$ r = \vec{q} \cdot \vec{v} $$

同様に、等式の両辺において $\vec{w}$ との内積をとる。

$$ (r\vec{m} + s\vec{n}) \cdot \vec{w} = \vec{q} \cdot \vec{w} $$

$$ r(\vec{m} \cdot \vec{w}) + s(\vec{n} \cdot \vec{w}) = \vec{q} \cdot \vec{w} $$

(2) の条件より $\vec{m} \cdot \vec{w} = 0, \vec{n} \cdot \vec{w} = 1$ であるから、

$$ r \cdot 0 + s \cdot 1 = \vec{q} \cdot \vec{w} $$

$$ s = \vec{q} \cdot \vec{w} $$

解説

本問は、大学数学で扱われる「逆行列」や「双対基底」の概念を高校数学の範囲（ベクトルの内積と成分計算）に落とし込んだ誘導問題です。

(1) の $D = ad - bc$ は行列式の値であり、これが $0$ にならないことが $\vec{m}$ と $\vec{n}$ が1次独立（平行でない）であることを保証しています。 (2) の条件式を行列表記にすると、

$$ \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

となっており、ベクトル $\vec{v}, \vec{w}$ を列ベクトルとして並べた行列が、$\vec{m}, \vec{n}$ を行ベクトルとして並べた行列の逆行列に相当することがわかります。(3) では、この $\vec{v}, \vec{w}$ が持つ「内積をとることで特定の係数だけを取り出せるフィルター」のような性質を利用することで、連立方程式を解くことなく係数 $r, s$ を簡潔に求めることができます。

答え

(1) 略（解法1を参照） (2) $\vec{v} = \left(\frac{d}{D}, -\frac{b}{D}\right), \quad \vec{w} = \left(-\frac{c}{D}, \frac{a}{D}\right)$ (3) $r = \vec{q} \cdot \vec{v}, \quad s = \vec{q} \cdot \vec{w}$