数学C 平面ベクトル 問題 30 解説

方針・初手

2つのベクトルが平行である条件は、成分を用いて外積に相当する量が $0$ になること、すなわち

$$ x_1y_2-x_2y_1=0 $$

である。ここでは $\vec{a}=(k,1)$、$\vec{b}=(3,k+2)$ にこの条件を用いる。

解法1

$\vec{a}=(k,1)$、$\vec{b}=(3,k+2)$ が平行であるための条件は

$$ k(k+2)-1\cdot 3=0 $$

である。

これを整理すると

$$ k^2+2k-3=0 $$

となる。因数分解して

$$ (k+3)(k-1)=0 $$

より、

$$ k=-3,\ 1 $$

を得る。

また、$\vec{a}$ は第2成分が $1$、$\vec{b}$ は第1成分が $3$ であるから、いずれも零ベクトルではない。したがって、上の平行条件をそのまま用いてよい。

解説

平面ベクトル $(x_1,y_1)$ と $(x_2,y_2)$ が平行であることは、片方がもう片方の実数倍であることを意味する。

この条件を成分で処理すると

$$ x_1y_2-x_2y_1=0 $$

となる。今回のように文字を含むベクトルの平行条件では、この式を作って方程式に直すのが最も速い。

答え

$$ k=-3,\ 1 $$