数学C 平面ベクトル 問題 39 解説

注意

画像中の条件は、問題の成立性と(1)が一意に定まることから、$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=2$ と解釈する。以下はその解釈による解答解説である。

方針・初手

点 $P,Q$ は放物線 $y=x^2$ 上にあるので、位置ベクトルは

$$ \overrightarrow{OP}=(p,p^2),\qquad \overrightarrow{OQ}=(q,q^2) $$

である。まず内積条件から $pq$ を求める。その後、三角形の面積を行列式で表し、$pq$ の値を利用して最小化する。

解法1

内積を計算すると、

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} =pq+p^2q^2 =pq+(pq)^2 $$

である。条件より

$$ pq+(pq)^2=2 $$

が成り立つ。

ここで $r=pq$ とおくと、

$$ r^2+r-2=0 $$

であるから、

$$ (r+2)(r-1)=0 $$

となる。よって

$$ r=-2,\ 1 $$

である。

ただし $p<0<q$ より $pq<0$ であるから、

$$ pq=-2 $$

である。

次に、$\triangle OPQ$ の面積を求める。原点を頂点にもつ三角形の面積は、2つの位置ベクトルの行列式の絶対値の半分であるから、

$$ \begin{aligned} S &=\frac{1}{2}\left|p q^2-q p^2\right| \\ &=\frac{1}{2}\left|pq(q-p)\right| \end{aligned} $$

である。

いま $pq=-2$ であり、$p<0<q$ だから $q-p>0$ である。したがって

$$ S=\frac{1}{2}\cdot 2(q-p)=q-p $$

となる。

また $pq=-2$ より

$$ p=-\frac{2}{q} $$

である。$q>0$ だから、

$$ S=q-p=q+\frac{2}{q} $$

となる。

相加平均・相乗平均の関係より、

$$ q+\frac{2}{q}\geqq 2\sqrt{q\cdot \frac{2}{q}}=2\sqrt{2} $$

である。等号成立は

$$ q=\frac{2}{q} $$

すなわち

$$ q^2=2 $$

のときである。$q>0$ より

$$ q=\sqrt{2} $$

であり、このとき

$$ p=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2} $$

である。

したがって、$\triangle OPQ$ の面積の最小値は

$$ 2\sqrt{2} $$

であり、そのとき

$$ p=-\sqrt{2},\qquad q=\sqrt{2} $$

である。

解説

内積条件が $pq$ だけで表される点が重要である。

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} =pq+p^2q^2 =pq+(pq)^2 $$

となるため、$p,q$ を個別に求める前に $pq$ が決まる。

面積については、原点を含む三角形なので行列式を使うと計算が短い。$pq=-2$ を代入すると面積が単に $q-p$ となり、あとは $p=-2/q$ として $q+\frac{2}{q}$ の最小値を求めればよい。

答え

(1)

$$ pq=-2 $$

(2)

$$ \triangle OPQ \text{ の面積の最小値 }=2\sqrt{2} $$

そのとき

$$ p=-\sqrt{2},\qquad q=\sqrt{2} $$