数学C 平面ベクトル 問題 42 解説

方針・初手

半径 $1$ の円が外接円であることから、三角形の外接円半径は $1$ である。したがって、正弦定理により各辺を角の正弦で表せる。

一方、上限 $9$ の証明には、円の中心を原点とするベクトル表示を用いると簡潔である。

解法1

辺の長さを

$$ a=BC,\quad b=CA,\quad c=AB $$

とし、対応する角をそれぞれ

$$ A=\angle BAC,\quad B=\angle CBA,\quad C=\angle ACB $$

とする。

半径 $1$ の円が外接円であるから、正弦定理より

$$ a=2\sin A,\quad b=2\sin B,\quad c=2\sin C $$

である。したがって

$$ AB^2+BC^2+CA^2=c^2+a^2+b^2 =4(\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C) $$

である。

ここで、三角形の角について

$$ \sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C =2+2\cos A\cos B\cos C $$

が成り立つ。実際、$C=\pi-(A+B)$ より

$$ \begin{aligned} \sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C &=\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2(A+B)\\ &=2-2\cos A\cos B\cos(A+B)\\ &=2+2\cos A\cos B\cos C \end{aligned} $$

である。

よって

$$ AB^2+BC^2+CA^2 =8+8\cos A\cos B\cos C $$

となる。

(1)

条件

$$ AB^2+BC^2+CA^2>8 $$

は

$$ 8+8\cos A\cos B\cos C>8 $$

と同値であるから、

$$ \cos A\cos B\cos C>0 $$

である。

三角形の角のうち、$90^\circ$ 以上の角は高々 $1$ つである。もし三角形が鋭角三角形でなければ、ある角が $90^\circ$ 以上である。

その角が直角なら、対応する余弦は $0$ であるから

$$ \cos A\cos B\cos C=0 $$

となる。

その角が鈍角なら、その角の余弦は負であり、残りの二角は鋭角なので余弦は正である。したがって

$$ \cos A\cos B\cos C<0 $$

となる。

いずれの場合も

$$ \cos A\cos B\cos C>0 $$

に反する。したがって、$A,B,C$ はすべて鋭角であり、$\triangle ABC$ は鋭角三角形である。

(2)

円の中心を $O$ とし、$O$ を原点とする位置ベクトルを

$$ \vec{OA}=\mathbf{a},\quad \vec{OB}=\mathbf{b},\quad \vec{OC}=\mathbf{c} $$

とおく。

半径が $1$ であるから

$$ |\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=1 $$

である。

このとき

$$ AB^2=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|^2 =|\mathbf{a}|^2+|\mathbf{b}|^2-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =2-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} $$

である。同様にして

$$ BC^2=2-2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c},\quad CA^2=2-2\mathbf{c}\cdot\mathbf{a} $$

である。

したがって

$$ AB^2+BC^2+CA^2 =6-2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{c}\cdot\mathbf{a}) $$

である。

一方、

$$ |\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}|^2\geqq 0 $$

より

$$ |\mathbf{a}|^2+|\mathbf{b}|^2+|\mathbf{c}|^2 +2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})\geqq 0 $$

である。ここで $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=1$ だから

$$ 3+2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})\geqq 0 $$

となり、

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{c}\cdot\mathbf{a} \geqq -\frac{3}{2} $$

を得る。

よって

$$ AB^2+BC^2+CA^2 =6-2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{c}\cdot\mathbf{a}) \leqq 6-2\left(-\frac{3}{2}\right)=9 $$

である。

等号が成り立つのは

$$ |\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}|^2=0 $$

すなわち

$$ \mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{0} $$

のときである。

このとき、$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=1$ であるから、3つの単位ベクトルが和 $0$ になる。これは、3点 $A,B,C$ が円周を $3$ 等分する位置にあることを意味する。

したがって

$$ AB=BC=CA $$

であり、$\triangle ABC$ は正三角形である。

逆に、$\triangle ABC$ が正三角形であれば、半径 $1$ の外接円における一辺の長さは

$$ 2\sin 60^\circ=\sqrt{3} $$

であるから

$$ AB^2+BC^2+CA^2 =3\cdot(\sqrt{3})^2=9 $$

となる。

よって等号成立は、$\triangle ABC$ が正三角形である場合に限られる。

解説

(1)

では、半径 $1$ の外接円をもつ三角形であることから、辺の長さを $2\sin$ で表すのが自然である。辺の二乗和は角の余弦積に変換され、

$$ AB^2+BC^2+CA^2=8+8\cos A\cos B\cos C $$

となる。この式により、$8$ との大小が三角形の角の鋭角・鈍角の判定に直結する。

(2)

では、三角関数で最大値を調べるよりも、中心を原点にしたベクトル表示の方が処理しやすい。特に

$$ |\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}|^2\geqq 0 $$

から内積和の下限を得ることができ、それがそのまま辺の二乗和の上限 $9$ を与える。

答え

(1)

$$ AB^2+BC^2+CA^2>8 $$

ならば、$\triangle ABC$ は鋭角三角形である。

(2)

$$ AB^2+BC^2+CA^2\leqq 9 $$

である。

等号成立は、$A,B,C$ が円周を $3$ 等分する位置にあるとき、すなわち $\triangle ABC$ が正三角形であるときである。