数学C 平面ベクトル 問題 85 解説

方針・初手

(1)

は、直線の垂直条件を内積で表す。点 $P(\vec{p})$ が点 $A(\vec{a})$ を通る直線上にあるとき、$\overrightarrow{AP}=\vec{p}-\vec{a}$ である。

(2)

は、距離の不等式である。両辺はいずれも非負なので、2乗して半平面と円の外部に直す。

解法1

(1)(ア)

点 $P(\vec{p})$ は、点 $A(\vec{a})$ を通り、ベクトル $\vec{a}$ に垂直な直線上にある。

したがって、$\overrightarrow{AP}=\vec{p}-\vec{a}$ は $\vec{a}$ に垂直であるから、

$$ \vec{a}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0 $$

が成り立つ。これを整理すると、

$$ \vec{a}\cdot\vec{p}-|\vec{a}|^2=0 $$

である。よって、

$$ \vec{a}\cdot\vec{p}=|\vec{a}|^2 $$

が成り立つ。

(1)(イ)

与えられたベクトル方程式は

$$ |\vec{p}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{p}=0 $$

である。ここで、

$$ |\vec{p}-\vec{a}|^2 = |\vec{p}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{p}+|\vec{a}|^2 $$

より、

$$ |\vec{p}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{p} = |\vec{p}-\vec{a}|^2-|\vec{a}|^2 $$

である。したがって、もとの式は

$$ |\vec{p}-\vec{a}|^2=|\vec{a}|^2 $$

と変形できる。

これは、点 $A(\vec{a})$ を中心とし、半径 $|\vec{a}|$ の円を表す。

この円は原点 $O$ を通る。実際、$\vec{p}=\vec{0}$ とすると、

$$ |\vec{0}-\vec{a}|=|\vec{a}| $$

である。

よって、図形は点 $A(\vec{a})$ を中心とし、原点 $O$ を通る円である。

(2)

点 $P$ の座標を $P(x,y)$ とする。すなわち、

$$ \vec{p}=(x,y),\qquad \vec{b}=(1,1) $$

とおく。

まず、

$$ |\vec{p}-\vec{b}|\leq |\vec{p}+3\vec{b}| $$

を考える。両辺は非負なので、2乗してよい。

$$ |\vec{p}-\vec{b}|^2\leq |\vec{p}+3\vec{b}|^2 $$

これを展開すると、

$$ |\vec{p}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{p}+|\vec{b}|^2 \leq |\vec{p}|^2+6\vec{b}\cdot\vec{p}+9|\vec{b}|^2 $$

である。整理して、

$$ \vec{b}\cdot\vec{p}\geq -|\vec{b}|^2 $$

を得る。

ここで $|\vec{b}|^2=1^2+1^2=2$、また $\vec{b}\cdot\vec{p}=x+y$ であるから、

$$ x+y\geq -2 $$

となる。これは直線 $x+y=-2$ を境界とする半平面である。

次に、

$$ |\vec{p}+3\vec{b}|\leq 3|\vec{p}-\vec{b}| $$

を考える。同様に2乗して、

$$ |\vec{p}+3\vec{b}|^2\leq 9|\vec{p}-\vec{b}|^2 $$

である。展開すると、

$$ |\vec{p}|^2+6\vec{b}\cdot\vec{p}+9|\vec{b}|^2 \leq 9|\vec{p}|^2-18\vec{b}\cdot\vec{p}+9|\vec{b}|^2 $$

となる。整理して、

$$ |\vec{p}|^2-3\vec{b}\cdot\vec{p}\geq 0 $$

を得る。

座標で書くと、

$$ x^2+y^2-3(x+y)\geq 0 $$

すなわち、

$$ x^2+y^2-3x-3y\geq 0 $$

である。平方完成すると、

$$ \left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2\geq \frac{9}{2} $$

となる。

これは、中心

$$ \left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right) $$

半径

$$ \frac{3}{\sqrt{2}} $$

の円の外部および円周上を表す。

したがって、求める領域は

$$ x+y\geq -2 $$

かつ

$$ \left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2\geq \frac{9}{2} $$

を同時に満たす領域である。

図示するときは、直線 $x+y=-2$ を境界として、その右上側の半平面をとる。さらに、中心 $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$、半径 $\frac{3}{\sqrt{2}}$ の円の内部を除き、円周は含める。

この円は、例えば

$$ (0,0),\ (3,3),\ (3,0),\ (0,3) $$

を通るので、これらの点を目印に描けばよい。

解説

(1)(ア) は、直線の垂直条件を $\vec{a}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0$ と表せるかが要点である。点 $P$ の位置ベクトルそのものではなく、点 $A$ から点 $P$ へのベクトル $\vec{p}-\vec{a}$ を使う。

(1)(イ) は、式

$$ |\vec{p}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{p} $$

を平方完成して

$$ |\vec{p}-\vec{a}|^2-|\vec{a}|^2 $$

と見ることが重要である。これは円の標準形である。

(2)

は、距離の不等式を2乗して処理する。ただし、距離は常に非負なので、2乗しても不等号の向きは変わらない。1つ目の不等式から半平面、2つ目の不等式から円の外部が得られる。

答え

(1)(ア)

$$ \vec{a}\cdot\vec{p}=|\vec{a}|^2 $$

が成り立つ。

(1)(イ)

点 $A(\vec{a})$ を中心とし、半径 $|\vec{a}|$ の円。すなわち、原点 $O$ を通る円である。

(2)

求める領域は

$$ x+y\geq -2 $$

かつ

$$ \left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2\geq \frac{9}{2} $$

を満たす点全体である。

すなわち、直線 $x+y=-2$ の右上側の半平面のうち、中心 $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$、半径 $\frac{3}{\sqrt{2}}$ の円の内部を除いた領域である。境界はすべて含む。