数学C 平面ベクトル 問題 88 解説

方針・初手

三角形の辺の長さから、まず $|\vec{AB}|^2=|\vec{OB}-\vec{OA}|^2$ を用いて内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求める。

その後、点 $P$ が線分 $AM$ 上にあることを文字で表し、さらに $OP$ が $AB$ に垂直である条件を内積で立てる。

解法1

$\vec{OA}=\vec{a},\ \vec{OB}=\vec{b}$ より、

$$ |\vec{a}|=\sqrt{3},\qquad |\vec{b}|=\sqrt{2},\qquad |\vec{b}-\vec{a}|=2 $$

である。

よって、

$$ |\vec{b}-\vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b} $$

より、

$$ 4=3+2-2\vec{a}\cdot\vec{b} $$

したがって、

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2} $$

である。

次に、$M$ は $OB$ の中点だから、

$$ \vec{OM}=\frac{1}{2}\vec{b} $$

である。

点 $P$ は線分 $AM$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$$ \vec{OP} = (1-t)\vec{a}+t\cdot\frac{1}{2}\vec{b} $$

と表せる。

また、$OP$ は $AB$ に垂直である。$AB$ の方向ベクトルは

$$ \vec{AB}=\vec{b}-\vec{a} $$

であるから、

$$ \vec{OP}\cdot(\vec{b}-\vec{a})=0 $$

が成り立つ。

ここで、

$$ \begin{aligned} \vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{a}) &= \vec{a}\cdot\vec{b}-|\vec{a}|^2\\ &= \frac{1}{2}-3 \end{aligned} -\frac{5}{2} $$

また、

$$ \begin{aligned} \vec{b}\cdot(\vec{b}-\vec{a}) &= |\vec{b}|^2-\vec{a}\cdot\vec{b}\\ &= 2-\frac{1}{2}\\ &= \frac{3}{2} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} 0 &= \left((1-t)\vec{a}+\frac{t}{2}\vec{b}\right)\cdot(\vec{b}-\vec{a})\\ &= (1-t)\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{t}{2}\cdot\frac{3}{2} \end{aligned} $$

これを整理すると、

$$ -\frac{5}{2}+\frac{5t}{2}+\frac{3t}{4}=0 $$

両辺を $4$ 倍して、

$$ -10+10t+3t=0 $$

よって、

$$ 13t=10 $$

したがって、

$$ t=\frac{10}{13} $$

である。

これを $\vec{OP}$ の式に代入すると、

$$ \begin{aligned} \vec{OP} &= \left(1-\frac{10}{13}\right)\vec{a} + \frac{1}{2}\cdot\frac{10}{13}\vec{b}\\ &= \frac{3}{13}\vec{a}+\frac{5}{13}\vec{b}\\ &= \frac{1}{13}(3\vec{a}+5\vec{b}) \end{aligned} $$

解説

辺の長さから内積を求めるときは、$\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ に注目するのが基本である。

また、垂線条件は「垂直な2つのベクトルの内積が $0$」で処理する。今回の $P$ は線分 $AM$ 上の点なので、まず $AM$ 上の一般点として $\vec{OP}$ を表し、そのあと垂直条件で係数を決定すればよい。

答え

(1)

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2} $$

(2)

$$ \vec{OP} = \frac{1}{13}(3\vec{a}+5\vec{b}) $$

したがって、空欄は

$$ 3\vec{a}+5\vec{b} $$