数学C 平面ベクトル 問題 91 解説

方針・初手

点 $P,Q$ を位置ベクトルで表す。条件 (a), (b) から $\vec{OQ}$ は $\vec{OP}$ の正の実数倍であり、その倍率が $|\vec{OP}|$ によって決まる。

円 $C$ は中心 $A$、半径 $r$ で原点 $O$ を通るので、$\vec{OA}$ を用いて円の方程式を内積の形に直すと、点 $Q$ の満たす直線の方程式が自然に現れる。

解法1

$\vec{OA}=\mathbf{a}$、$\vec{OP}=\mathbf{p}$、$\vec{OQ}=\mathbf{q}$ とおく。円 $C$ は中心 $A$、半径 $r$ で原点を通るから、

$$ |\mathbf{a}|=r $$

である。

点 $P$ は円 $C$ 上にあるので、

$$ |\mathbf{p}-\mathbf{a}|=r $$

である。両辺を2乗して、$|\mathbf{a}|^2=r^2$ を用いると、

$$ |\mathbf{p}-\mathbf{a}|^2=r^2 $$

より

$$ |\mathbf{p}|^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{p}+|\mathbf{a}|^2=r^2 $$

したがって、

$$ |\mathbf{p}|^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{p}=0 $$

すなわち

$$ |\mathbf{p}|^2=2\mathbf{a}\cdot \mathbf{p} $$

を得る。

次に、条件 (a) より $\mathbf{q}$ は $\mathbf{p}$ と同じ向きであるから、ある正の実数 $t$ を用いて

$$ \mathbf{q}=t\mathbf{p} $$

と表せる。条件 (b) より、

$$ |\mathbf{p}||\mathbf{q}|=1 $$

である。ここで $|\mathbf{q}|=t|\mathbf{p}|$ だから、

$$ t|\mathbf{p}|^2=1 $$

となり、

$$ t=\frac{1}{|\mathbf{p}|^2} $$

である。よって

$$ \mathbf{q}=\frac{\mathbf{p}}{|\mathbf{p}|^2} $$

となる。

この両辺と $\mathbf{a}$ の内積をとると、

$$ \mathbf{a}\cdot \mathbf{q} = \frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{p}}{|\mathbf{p}|^2} $$

である。先ほど得た $|\mathbf{p}|^2=2\mathbf{a}\cdot \mathbf{p}$ より、

$$ \frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{p}}{|\mathbf{p}|^2} = \frac{1}{2} $$

したがって、

$$ \mathbf{a}\cdot \mathbf{q}=\frac{1}{2} $$

である。

これは点 $Q$ の位置ベクトル $\mathbf{q}$ が満たす直線の方程式である。この直線は法線ベクトルが $\mathbf{a}=\vec{OA}$ であるから、$\vec{OA}$ に垂直である。

よって、点 $P$ が $O$ を除く $C$ 上を動くとき、点 $Q$ は $\vec{OA}$ に直交する直線

$$ \ell:\ \mathbf{a}\cdot \mathbf{x}=\frac{1}{2} $$

上を動く。

さらに、逆に $\ell$ 上の任意の点 $Q$ について $\mathbf{q}\neq \mathbf{0}$ であり、

$$ \mathbf{p}=\frac{\mathbf{q}}{|\mathbf{q}|^2} $$

とおけば、

$$ |\mathbf{p}|^2 = \frac{1}{|\mathbf{q}|^2} $$

また

$$ \begin{aligned} \mathbf{a}\cdot \mathbf{p} &= \frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{q}}{|\mathbf{q}|^2}\\ &= \frac{1}{2|\mathbf{q}|^2} \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ |\mathbf{p}|^2=2\mathbf{a}\cdot \mathbf{p} $$

となるので、$P$ は円 $C$ 上にある。よって、点 $Q$ の軌跡は直線 $\ell$ 全体である。

次に、$\ell$ が円 $C$ と2点で交わる条件を求める。

直線 $\ell$ は

$$ \mathbf{a}\cdot \mathbf{x}=\frac{1}{2} $$

であり、円 $C$ の中心は $A$、すなわち位置ベクトル $\mathbf{a}$ をもつ点である。

中心 $A$ から直線 $\ell$ までの距離 $d$ は、

$$ d= \frac{\left|\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}-\frac{1}{2}\right|}{|\mathbf{a}|} $$

である。ここで $|\mathbf{a}|=r$ だから、

$$ d= \frac{\left|r^2-\frac{1}{2}\right|}{r} $$

である。

直線 $\ell$ が円 $C$ と2点で交わるための条件は、中心から直線までの距離が半径より小さいことである。したがって、

$$ \frac{\left|r^2-\frac{1}{2}\right|}{r}<r $$

である。$r>0$ より両辺に $r$ をかけて、

$$ \left|r^2-\frac{1}{2}\right|<r^2 $$

を得る。これは

$$ -r^2<r^2-\frac{1}{2}<r^2 $$

と同値である。

右側の不等式

$$ r^2-\frac{1}{2}<r^2 $$

は常に成り立つ。左側の不等式から、

$$ -r^2<r^2-\frac{1}{2} $$

すなわち

$$ 2r^2>\frac{1}{2} $$

である。よって、

$$ r^2>\frac{1}{4} $$

となる。$r>0$ であるから、

$$ r>\frac{1}{2} $$

を得る。

解説

この問題の本質は、条件 (a), (b) が点 $P$ から点 $Q$ への反転に近い対応を与えていることである。具体的には、

$$ \vec{OQ}=\frac{\vec{OP}}{|\vec{OP}|^2} $$

となる。

一方、円 $C$ が原点を通ることから、円の方程式は

$$ |\vec{OP}|^2=2\vec{OA}\cdot \vec{OP} $$

という内積の形に変形できる。この式に $\vec{OQ}=\vec{OP}/|\vec{OP}|^2$ を代入することで、

$$ \vec{OA}\cdot \vec{OQ}=\frac{1}{2} $$

という直線の方程式が出る。

(2) は、得られた直線と円が2点で交わる条件を距離で判定すればよい。直線と円が2点で交わる条件は、中心から直線までの距離が半径より小さいことである。接する場合は1点共有なので、等号は含まない。

答え

(1)

点 $Q$ の軌跡は

$$ \ell:\ \vec{OA}\cdot \vec{OX}=\frac{1}{2} $$

で表される直線である。この直線の法線ベクトルは $\vec{OA}$ であるから、$\ell$ は $\vec{OA}$ に直交する。

(2)

$\ell$ が円 $C$ と2点で交わるための $r$ の範囲は

$$ r>\frac{1}{2} $$

である。