数学C 平面ベクトル 問題 93 解説

方針・初手

円の直径が $AB=2$ であるから、$\triangle APB$ は直角三角形である。したがって、まず $AP$ を $\theta=\angle PAB$ で表し、座標を置いて $R$ の位置を求める。

解法1

$A=(0,0), B=(2,0)$ とおく。$P$ が直線 $AB$ の上側にある場合を考えればよい。下側にある場合も面積は同じであり、最後のベクトル表示も同じ形になる。

$\triangle APB$ は $P$ を直角とする直角三角形で、$AB=2,\ \angle PAB=\theta$ であるから、

$$ AP=2\cos\theta $$

である。ここで

$$ c=\cos\theta,\quad s=\sin\theta $$

とおくと、

$$ P=(2c^2,2cs),\quad Q=(2c,0) $$

である。

円 $C$ の方程式は

$$ (x-1)^2+y^2=1 $$

すなわち

$$ x^2+y^2=2x $$

である。

直線 $PQ$ 上の点を

$$ X(t)=P+t(Q-P) $$

とおく。$t=0$ のとき $X(t)=P$ である。ここで

$$ Q-P=(2c(1-c),-2cs) $$

であるから、$X(t)$ を円の方程式に代入すると、

$$ |X(t)|^2-2x_{X(t)} = t{8c^2(1-c)t-4c(1-c)(1+2c)} $$

となる。$t=0$ は点 $P$ に対応するので、$P$ でない交点 $R$ は

$$ t=\frac{1+2c}{2c} $$

に対応する。

したがって、

$$ R = P+\frac{1+2c}{2c}(Q-P) (1+c,-s) $$

である。

よって、$\triangle AQR$ は底辺 $AQ=2c$、高さ $s$ をもつから、その面積 $S$ は

$$ S = \frac12\cdot 2c\cdot s cs \sin\theta\cos\theta \frac12\sin 2\theta $$

である。

次に、この面積が最大となる場合を考える。$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ であるから、

$$ S=\frac12\sin 2\theta\leq \frac12 $$

であり、等号は

$$ 2\theta=\frac{\pi}{2} $$

すなわち

$$ \theta=\frac{\pi}{4} $$

のときに成り立つ。このとき

$$ \cos\theta=\frac1{\sqrt2} $$

である。

ここで $\vec{AB}$ と $\vec{AP}$ を用いて $\vec{AR}$ を表す。一般に

$$ \vec{AQ}=\cos\theta,\vec{AB}=c\vec{AB} $$

である。また、先ほどの計算より

$$ R=P+\frac{1+2c}{2c}(Q-P) $$

であるから、

$$ \vec{AR} = \vec{AP} + \frac{1+2c}{2c}(\vec{AQ}-\vec{AP}) $$

となる。$\vec{AQ}=c\vec{AB}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} \vec{AR} &= \vec{AP} + \frac{1+2c}{2c}(c\vec{AB}-\vec{AP})\\ &= \frac{1+2c}{2}\vec{AB} &= \frac1{2c}\vec{AP} \end{aligned} $$

である。

面積が最大となるとき $c=\dfrac1{\sqrt2}$ だから、

$$ \begin{aligned} \vec{AR} = \frac{1+\sqrt2}{2}\vec{AB} \\ \frac{\sqrt2}{2}\vec{AP} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、直径に対する円周角が直角になることから、まず $AP=2\cos\theta$ を得るのが初手である。

その後、$Q$ は $AB$ 上にあり $AQ=AP$ なので、座標上では $Q=(2\cos\theta,0)$ と表せる。あとは直線 $PQ$ と円の交点を求めれば、$R$ の高さが分かり、面積がすぐに求まる。

最大値の処理は、面積が $\sin\theta\cos\theta=\dfrac12\sin2\theta$ と表せることに帰着する。最後のベクトル表示では、$R$ が直線 $PQ$ 上にあることをそのまま利用し、$\vec{AQ}=\cos\theta,\vec{AB}$ を代入するのが自然である。

答え

(1)

$$ \begin{aligned} \triangle AQR\text{ の面積} &= \sin\theta\cos\theta\\ &= \frac12\sin2\theta \end{aligned} $$

(2)

$$ \begin{aligned} \vec{AR} = \frac{1+\sqrt2}{2}\vec{AB} \\ \frac{\sqrt2}{2}\vec{AP} \end{aligned} $$