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数学C 平面ベクトル問題 113 解説

方針・初手

点 $Q$ は単位円上を動くので、$\overrightarrow{OQ}$ は長さ $1$ の方向ベクトルである。

式

$$ \overrightarrow{OP}=(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OQ})\overrightarrow{OQ} $$

は、$\overrightarrow{OA}$ を直線 $OQ$ 方向へ正射影したベクトルを表している。したがって、まず $Q=(u,v)$ とおいて座標計算し、点 $P$ の満たす方程式と範囲を求める。

解法1

$Q=(u,v)$ とおく。ただし、点 $Q$ は円 $x^2+y^2=1$ 上の $x\geqq 0,\ y\geqq 0$ の部分を動くから、

$$ u^2+v^2=1,\qquad u\geqq 0,\quad v\geqq 0 $$

である。また、$A(2,2)$ より

$$ \overrightarrow{OA}=(2,2),\qquad \overrightarrow{OQ}=(u,v) $$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OQ}=2u+2v=2(u+v) $$

となる。

点 $P$ の座標を $P=(X,Y)$ とおくと、

$$ \overrightarrow{OP}=2(u+v)(u,v) $$

より、

$$ X=2u(u+v),\qquad Y=2v(u+v) $$

である。

ここで、

$$ X^2+Y^2={2(u+v)}^2(u^2+v^2) $$

であり、$u^2+v^2=1$ だから、

$$ X^2+Y^2=4(u+v)^2 $$

となる。一方、

$$ X+Y=2u(u+v)+2v(u+v)=2(u+v)^2 $$

である。よって、

$$ X^2+Y^2=2(X+Y) $$

すなわち

$$ X^2+Y^2-2X-2Y=0 $$

である。平方完成すると、

$$ (X-1)^2+(Y-1)^2=2 $$

を得る。

次に、点 $P$ がこの円全体を動くわけではないので、範囲を調べる。

$u\geqq 0,\ v\geqq 0,\ u^2+v^2=1$ より、

$$ (u+v)^2=u^2+v^2+2uv=1+2uv $$

である。ここで $uv\geqq 0$ だから、

$$ (u+v)^2\geqq 1 $$

となる。したがって、

$$ X+Y=2(u+v)^2\geqq 2 $$

である。

また端点を調べると、$Q=(1,0)$ のとき

$$ P=(2,0) $$

であり、$Q=(0,1)$ のとき

$$ P=(0,2) $$

である。さらに $Q=\left(\dfrac{1}{\sqrt2},\dfrac{1}{\sqrt2}\right)$ のとき

$$ P=(2,2) $$

である。

よって、点 $P$ の軌跡は、円

$$ (X-1)^2+(Y-1)^2=2 $$

のうち、直線 $X+Y=2$ に関して点 $A(2,2)$ と同じ側にある半円である。

すなわち、

$$ (X-1)^2+(Y-1)^2=2,\qquad X+Y\geqq 2 $$

で表される部分である。

解法2

式

$$ \overrightarrow{OP}=(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OQ})\overrightarrow{OQ} $$

において、$\overrightarrow{OQ}$ は単位ベクトルである。したがって、$\overrightarrow{OP}$ は $\overrightarrow{OA}$ を直線 $OQ$ 方向に正射影したベクトルである。

よって、点 $P$ は点 $A$ から直線 $OQ$ に下ろした垂線の足である。したがって、

$$ AP\perp OP $$

が成り立つ。

これは

$$ \angle OPA=90^\circ $$

を意味する。よって、点 $P$ は線分 $OA$ を直径とする円の上にある。

$O=(0,0),\ A=(2,2)$ であるから、この円の中心は

$$ (1,1) $$

であり、半径は

$$ \sqrt{(2-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt2 $$

である。したがって円の方程式は

$$ (X-1)^2+(Y-1)^2=2 $$

である。

ただし、$Q$ は第1象限の単位円弧上を動くので、直線 $OQ$ の方向は第1象限方向に限られる。そのため、点 $P$ は円全体ではなく、点 $(2,0)$ から点 $(0,2)$ までの半円を動く。

また、$Q$ が $\left(\dfrac{1}{\sqrt2},\dfrac{1}{\sqrt2}\right)$ のとき、直線 $OQ$ は直線 $OA$ と一致するので、$P=A=(2,2)$ となる。したがって、求める軌跡は点 $(2,0)$、$(2,2)$、$(0,2)$ を通る半円である。

解説

この問題の本質は、与えられた式を「正射影」と見抜くことである。$\overrightarrow{OQ}$ は単位ベクトルなので、$(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OQ})\overrightarrow{OQ}$ は $\overrightarrow{OA}$ の $\overrightarrow{OQ}$ 方向への正射影を表す。

座標計算で進める場合は、$Q=(u,v)$ とおいて $u^2+v^2=1$ を利用すれば、円の方程式

$$ (X-1)^2+(Y-1)^2=2 $$

が得られる。ただし、軌跡は円全体ではない。$Q$ が第1象限の円弧に限られているため、$P$ はそのうち

$$ X+Y\geqq 2 $$

を満たす半円部分だけを動く。

図示すると、中心 $(1,1)$、半径 $\sqrt2$ の円を描き、そのうち点 $(2,0)$ から点 $(0,2)$ までを、点 $(2,2)$ を通る側の半円として示せばよい。