数学C 平面ベクトル(斜交座標) 問題 1 解説

方針・初手

$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ と表されるとき、$s,t$ は $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ を基準にした座標である。

したがって、$s,t$ 平面上で条件を考え、その図形を三角形 $OAB$ のある平面に対応させればよい。

解法1

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ は三角形 $OAB$ をつくる2つの辺なので、互いに平行でない。よって、点 $P$ と組 $(s,t)$ は一対一に対応する。

(1)

条件は

$$ 3s+4t=2 $$

である。これは $s,t$ 平面上では直線を表す。

この直線と $s$ 軸、$t$ 軸との交点を調べる。

$t=0$ とすると、

$$ 3s=2 $$

より

$$ s=\frac{2}{3} $$

である。したがって、このときの点を $C$ とすると、

$$ \overrightarrow{OC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA} $$

である。

また、$s=0$ とすると、

$$ 4t=2 $$

より

$$ t=\frac{1}{2} $$

である。したがって、このときの点を $D$ とすると、

$$ \overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB} $$

である。

よって、条件 $3s+4t=2$ を満たす点 $P$ は、辺 $OA$ 上で $OC:CA=2:1$ となる点 $C$ と、辺 $OB$ 上で $OD:DB=1:1$ となる点 $D$ を通る直線上にある。

つまり、点 $P$ は直線 $CD$ 上にある。

(2)

点 $P$ が三角形 $OAB$ 内にある条件は

$$ s\geqq 0,\quad t\geqq 0,\quad s+t\leqq 1 $$

である。

さらに

$$ 3s+4t\geqq 2 $$

を満たす範囲を考える。

$s,t$ 平面で三角形 $OAB$ に対応するのは、頂点

$$ (0,0),\quad (1,0),\quad (0,1) $$

をもつ三角形である。この三角形の中で、直線

$$ 3s+4t=2 $$

は、点

$$ \left(\frac{2}{3},0\right),\quad \left(0,\frac{1}{2}\right) $$

を通る。

不等式 $3s+4t\geqq 2$ は、原点 $(0,0)$ を含まない側を表す。したがって、三角形全体から、頂点

$$ (0,0),\quad \left(\frac{2}{3},0\right),\quad \left(0,\frac{1}{2}\right) $$

をもつ小三角形を除いた部分が求める範囲である。

$s,t$ 平面における大きい三角形の面積は

$$ \frac{1}{2} $$

であり、除かれる小三角形の面積は

$$ \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6} $$

である。

したがって、残る部分の面積は

$$ \frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3} $$

である。

大きい三角形に対する面積比は

$$ \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3} $$

である。

$s,t$ 平面での面積比は、実際の平面上の三角形 $OAB$ でも保たれる。三角形 $OAB$ の面積は $S$ であるから、求める面積は

$$ \frac{2}{3}S $$

である。

解説

この問題では、$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ を、平面上の点 $P$ の座標表示として扱うことが重要である。

三角形 $OAB$ 内にある条件は、係数 $s,t$ を用いて

$$ s\geqq 0,\quad t\geqq 0,\quad s+t\leqq 1 $$

と表せる。ここを正しく立てると、あとは $s,t$ 平面上で三角形を直線 $3s+4t=2$ によって切るだけでよい。

また、境界を含むかどうかは面積に影響しないため、面積計算では不等号の等号の有無を気にしなくてよい。

答え

(1)

点 $P$ は、$\overrightarrow{OC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OA}$ を満たす点 $C$ と、$\overrightarrow{OD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}$ を満たす点 $D$ を通る直線 $CD$ 上にある。

(2)

$$ \frac{2}{3}S $$