数学C 媒介変数関数 問題 1 解説

方針・初手

点 $P$ の位置は、中心 $Q$ の位置ベクトルと、円 $D_2$ 上での相対位置ベクトル $\overrightarrow{QP}$ の和として考える。

接点 $R$ について $\angle XOR=\theta$ であるから、まず $Q$ の座標を $\theta$ で表し、その後、すべらずに転がる条件から $\overrightarrow{QP}$ の向きを求める。

解法1

円 $D_1$ の半径は $2$、円 $D_2$ の半径は $1$ であり、外接しているので、常に

$$ OQ=2+1=3 $$

である。また、$Q$ は半直線 $OR$ 上にあるから、

$$ Q=(3\cos\theta,3\sin\theta) $$

である。

次に、$\overrightarrow{QP}$ の向きを考える。接点 $R$ は円 $D_1$ 上を、初期位置 $(2,0)$ から反時計回りに角 $\theta$ だけ動くので、円 $D_1$ 上での弧の長さは

$$ 2\theta $$

である。

すべらずに転がるから、円 $D_2$ 上でも同じ長さだけ円周上を進む。円 $D_2$ の半径は $1$ なので、これは円 $D_2$ 上で中心角

$$ \frac{2\theta}{1}=2\theta $$

に対応する。

現在の接点 $R$ に対して、ベクトル $\overrightarrow{QR}$ は $Q$ から $O$ の方向を向くので、その偏角は

$$ \theta+\pi $$

である。

点 $P$ は初め接点にあった点であり、転がるにつれて、現在の接点から円 $D_2$ 上をさらに反時計回りに $2\theta$ だけ離れた位置にある。したがって、ベクトル $\overrightarrow{QP}$ の偏角は

$$ \theta+\pi+2\theta=3\theta+\pi $$

である。

よって、$D_2$ の半径が $1$ であることから、

$$ \overrightarrow{QP} =(\cos(3\theta+\pi),\sin(3\theta+\pi)) =(-\cos3\theta,-\sin3\theta) $$

となる。

したがって、点 $P$ の座標 $(x,y)$ は

$$ \begin{aligned} (x,y) &=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QP} \\ &=(3\cos\theta,3\sin\theta)+(-\cos3\theta,-\sin3\theta) \end{aligned} $$

であるから、

$$ x=3\cos\theta-\cos3\theta,\qquad y=3\sin\theta-\sin3\theta $$

を得る。

解説

この問題の要点は、中心 $Q$ の動きと、円 $D_2$ 自身の回転を分けて考えることである。

中心 $Q$ は半径 $3$ の円周上を動くので、そこはすぐに

$$ Q=(3\cos\theta,3\sin\theta) $$

と表せる。

一方で、点 $P$ は円 $D_2$ に固定された点なので、$Q$ から見た向きが変化する。すべらずに転がる条件により、円 $D_1$ 上の弧の長さ $2\theta$ と円 $D_2$ 上の弧の長さが等しくなるため、円 $D_2$ は相対的に $2\theta$ だけ回転する。

そのため、$\overrightarrow{QP}$ の偏角は単に $\theta+\pi$ ではなく、さらに $2\theta$ を加えた $3\theta+\pi$ になる。この $3\theta$ が出るところが最も重要である。

答え

$$ \boxed{x=3\cos\theta-\cos3\theta,\qquad y=3\sin\theta-\sin3\theta} $$