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九州大学 2023年理系第5問解説

方針・初手

(1) 媒介変数表示された曲線の接線が $y$ 軸に平行になる条件は、$\frac{dx}{dt} = 0$ かつ $\frac{dy}{dt} \neq 0$ となることである。この条件を満たす $t$ の個数を調べ、それぞれに対する $x$ 座標が異なることを確認する。

(2) まず、曲線 $C$ が $y \leqq x$ の領域にあるような $t$ の範囲を求める。次に面積の計算であるが、媒介変数 $t$ の変化に対して $x$ の増減は単調ではない一方、$y$ の増減は単調であることを利用する。$y$ 軸方向の積分 $\int (x-y) dy$ を立式し、置換積分で $t$ の積分に直して計算すると見通しがよい。

解法1

(1)

与えられた式を $t$ で微分すると、

$$ \frac{dx}{dt} = 1 + 4\sin t \cos t = 1 + 2\sin 2t $$

$$ \frac{dy}{dt} = 1 + \cos t $$

曲線 $C$ の接線が $y$ 軸に平行になるための条件は、$\frac{dx}{dt} = 0$ かつ $\frac{dy}{dt} \neq 0$ である。

$\frac{dx}{dt} = 0$ とすると、

$$ 1 + 2\sin 2t = 0 $$

$$ \sin 2t = -\frac{1}{2} $$

$0 < t < \pi$ より $0 < 2t < 2\pi$ であるから、これを解いて

$$ 2t = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi $$

$$ t = \frac{7}{12}\pi, \frac{11}{12}\pi $$

これらの $t$ に対して、$\frac{dy}{dt} = 1 + \cos t$ の値は $0$ にならない（$\cos t = -1$ となるのは $t = \pi$ のときのみであるから）。

また、それぞれの $t$ における $x$ 座標は、

$$ x\left(\frac{7}{12}\pi\right) = \frac{7}{12}\pi + 2\sin^2\left(\frac{7}{12}\pi\right) = \frac{7}{12}\pi + 1 - \cos\left(\frac{7}{6}\pi\right) = \frac{7}{12}\pi + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ x\left(\frac{11}{12}\pi\right) = \frac{11}{12}\pi + 2\sin^2\left(\frac{11}{12}\pi\right) = \frac{11}{12}\pi + 1 - \cos\left(\frac{11}{6}\pi\right) = \frac{11}{12}\pi + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} $$

これらは異なる値をとるため、接線も異なる2本が存在する。

(2)

曲線 $C$ 上の点が $y \leqq x$ の領域にある条件は、

$$ x - y \geqq 0 $$

$$ (t + 2\sin^2 t) - (t + \sin t) \geqq 0 $$

$$ \sin t(2\sin t - 1) \geqq 0 $$

$0 < t < \pi$ において $\sin t > 0$ であるから、

$$ 2\sin t - 1 \geqq 0 $$

$$ \sin t \geqq \frac{1}{2} $$

これを解いて、求める $t$ の範囲は

$$ \frac{\pi}{6} \leqq t \leqq \frac{5}{6}\pi $$

この範囲において、$\frac{dy}{dt} = 1 + \cos t > 0$ であるから、$y$ は $t$ について単調増加である。

したがって、曲線 $C$ の当該部分と直線 $y = x$ で囲まれた図形の面積 $S$ は、$y$ 軸方向の積分を用いて次のように表せる。

$$ S = \int_{y\left(\frac{\pi}{6}\right)}^{y\left(\frac{5}{6}\pi\right)} (x - y) dy $$

ここで、$y$ を媒介変数 $t$ に置換する。$dy = \frac{dy}{dt} dt = (1 + \cos t) dt$ であり、積分区間は $t$ が $\frac{\pi}{6}$ から $\frac{5}{6}\pi$ までとなる。

$$ S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5}{6}\pi} \sin t(2\sin t - 1)(1 + \cos t) dt $$

被積分関数を展開する。

$$ \sin t(2\sin t - 1)(1 + \cos t) = 2\sin^2 t - \sin t + (2\sin^2 t - \sin t)\cos t $$

それぞれの項ごとに積分を計算する。

$$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5}{6}\pi} 2\sin^2 t dt = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5}{6}\pi} (1 - \cos 2t) dt = \left[ t - \frac{1}{2}\sin 2t \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5}{6}\pi} $$

$$ = \left( \frac{5}{6}\pi - \frac{1}{2}\sin\frac{5}{3}\pi \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{3} \right) $$

$$ = \left( \frac{5}{6}\pi + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{2}{3}\pi + \frac{\sqrt{3}}{2} $$

次に、

$$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5}{6}\pi} \sin t dt = \left[ -\cos t \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5}{6}\pi} = -\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $$

最後に、$\cos t$ が掛かっている項は $(\sin t)' = \cos t$ を利用して積分する。

$$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5}{6}\pi} (2\sin^2 t - \sin t)\cos t dt = \left[ \frac{2}{3}\sin^3 t - \frac{1}{2}\sin^2 t \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5}{6}\pi} $$

$t = \frac{\pi}{6}$ と $t = \frac{5}{6}\pi$ において $\sin t = \frac{1}{2}$ であり、同じ値をとるためこの定積分は $0$ となる。

以上をまとめて、

$$ S = \left(\frac{2}{3}\pi + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \sqrt{3} + 0 = \frac{2}{3}\pi - \frac{\sqrt{3}}{2} $$

解説

(1) では、媒介変数表示された曲線の接線の傾きが $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ で表されることを前提に、分母が $0$ となり分子が $0$ でない点を探すのが典型的な処理である。また、得られた $t$ に対応する接線が本当に異なるかどうか、$x$ 座標を求めて確認する手続きを忘れないようにしたい。

(2) の面積計算では、どの変数で積分するかが計算量に大きく影響する。$x$ の増減を調べて $x$ 軸方向の積分を行おうとすると、極値で積分区間を分割し、曲線の上下を管理する必要があり非常に煩雑になる。一方で、$y$ が単調増加であることに気づき、$y$ 軸方向の積分 $\int (x-y) dy$ を立式できれば、単一の置換積分に帰着でき計算が劇的に楽になる。