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北海道大学 2021年理系第5問解説

方針・初手

(1) は、$x$ を $\cos\theta$ の2次関数とみて最小値を求める方針が簡明である。もちろん、$\theta$ で微分して増減を調べる方法でもよい。

(2) は、曲線の増減を調べて概形を把握し、求める面積が定積分でどのように表されるかを確認する。その上で、媒介変数 $\theta$ を用いた置換積分に持ち込んで計算する。

解法1

(1)

$x$ の式を展開して変形する。

$$x = (1 + \cos\theta)\cos\theta = \cos^2\theta + \cos\theta$$

$\cos\theta = t$ とおくと、$0 \leqq \theta \leqq \pi$ より $t$ のとり得る値の範囲は $-1 \leqq t \leqq 1$ である。 $x$ を $t$ で表して平方完成すると、以下のようになる。

$$x = t^2 + t = \left(t + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}$$

$-1 \leqq t \leqq 1$ の範囲において、この2次関数は $t = -\frac{1}{2}$ のとき最小値 $-\frac{1}{4}$ をとる。したがって、$x$ 座標の最小値 $a$ は以下の通りである。

$$a = -\frac{1}{4}$$

なお、このとき $\cos\theta = -\frac{1}{2}$ であり、$0 \leqq \theta \leqq \pi$ より $\theta = \frac{2}{3}\pi$ である。

(2)

点 $A$ の座標を求める。(1) より $\theta = \frac{2}{3}\pi$ を $y = \sin\theta$ に代入すると、

$$y = \sin\frac{2}{3}\pi = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

となるため、点 $A$ の座標は $\left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ である。次に、$0 \leqq \theta \leqq \pi$ の範囲で $\frac{dx}{d\theta}$ と $\frac{dy}{d\theta}$ を計算し、曲線の増減を調べる。

$$\frac{dx}{d\theta} = -\sin\theta(1+\cos\theta) + \cos\theta(-\sin\theta) = -\sin\theta(2\cos\theta + 1)$$

$$\frac{dy}{d\theta} = \cos\theta$$

$0 < \theta < \pi$ において $\frac{dx}{d\theta} = 0$ となるのは、$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ すなわち $\theta = \frac{2}{3}\pi$ のときである。 $\theta$ が $\frac{2}{3}\pi$ から $\pi$ まで変化するとき、$\frac{dx}{d\theta} > 0$ であるから $x$ は $-\frac{1}{4}$ から $0$ へ単調に増加し、$y$ は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ から $0$ へ減少する。また、$\theta = \pi$ のとき $x = 0, y = 0$ であり、これは原点 $O$ に一致する。

求める面積 $S$ は、直線 $x = -\frac{1}{4}$（線分 $AB$）、$x$ 軸（線分 $OB$）、および曲線 $C$ の $\frac{2}{3}\pi \leqq \theta \leqq \pi$ に対応する部分で囲まれた図形の面積である。この区間では $y \geqq 0$ であるから、面積 $S$ は以下の定積分で表される。

$$S = \int_{-\frac{1}{4}}^{0} y \, dx$$

これを媒介変数 $\theta$ を用いた積分に置換する。 $dx = -\sin\theta(2\cos\theta + 1) \, d\theta$ であり、$x$ が $-\frac{1}{4}$ から $0$ まで変化するとき、$\theta$ は $\frac{2}{3}\pi$ から $\pi$ まで変化する。

$$\begin{aligned} S &= \int_{\frac{2}{3}\pi}^{\pi} \sin\theta \left\{ -\sin\theta(2\cos\theta + 1) \right\} d\theta \\ &= \int_{\frac{2}{3}\pi}^{\pi} \left( -2\sin^2\theta\cos\theta - \sin^2\theta \right) d\theta \end{aligned}$$

ここで、半角の公式 $\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$ を用いて計算を進める。

$$\begin{aligned} S &= \int_{\frac{2}{3}\pi}^{\pi} \left( -2\sin^2\theta\cos\theta - \frac{1-\cos 2\theta}{2} \right) d\theta \\ &= \left[ -\frac{2}{3}\sin^3\theta - \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta \right]_{\frac{2}{3}\pi}^{\pi} \\ &= \left( 0 - \frac{\pi}{2} + 0 \right) - \left\{ -\frac{2}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 - \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\pi + \frac{1}{4}\sin\frac{4}{3}\pi \right\} \\ &= -\frac{\pi}{2} - \left\{ -\frac{2}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{3} + \frac{1}{4}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right\} \\ &= -\frac{\pi}{2} - \left( -\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) \\ &= -\frac{\pi}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{8} + \frac{\pi}{3} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{6} \end{aligned}$$

解説

媒介変数表示された曲線の典型的な問題である。 (1) は $x$ の式が $\cos\theta$ だけで構成されているため、2次関数に帰着させるのが最も早い。 (2) では、積分区間に対応する曲線の動き（$x$ と $y$ の増減）を把握することが重要である。面積を $x$ の積分として立式し、置換積分で $\theta$ の積分に直すという標準的な手順で解くことができる。定積分においては、$\sin^2\theta \cos\theta$ の積分には $(\sin\theta)' = \cos\theta$ の関係を用い、$\sin^2\theta$ の積分には半角の公式を用いるという三角関数積分の基本処理が問われている。