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九州大学 2022年理系第5問解説

方針・初手

媒介変数で表された曲線の性質（微分の符号、面積、対称性、概形）を順に調べる総合問題である。

(1) では、$x, y$ をそれぞれ $t$ で微分し、三角関数の和積の公式（または加法定理）を用いて積の形に因数分解することで、符号変化を調べやすくする。
(2) では、積分区間と上下関係を正しく把握し、定積分を計算する。媒介変数表示の面積は $x$ の積分から $t$ の積分へ置換して計算する。
(3) の対称性や回転は、$t$ を $-t$ や $t + \frac{\pi}{3}$ に置き換えて式を整理し、自分自身の式と一致するかどうかを確かめる。
(4) は、(1)〜(3) で得られた「増減」「対称性」「周期性」を統合して、曲線の全体像を描き出す。特異点（$\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt} = 0$ となる点）における接線の様子にも注意を払う。

解法1

(1)

与えられた式を $t$ で微分する。和積の公式を用いると、 $$ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= -5 \sin t - 5 \sin 5t \\ &= -5(\sin 5t + \sin t) \\ &= -5 \cdot 2 \sin 3t \cos 2t \\ &= -10 \sin 3t \cos 2t \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dt} &= 5 \cos t - 5 \cos 5t \\ &= -5(\cos 5t - \cos t) \\ &= -5 \cdot (-2 \sin 3t \sin 2t) \\ &= 10 \sin 3t \sin 2t \end{aligned} $$

区間 $0 < t < \frac{\pi}{6}$ においては、$0 < 3t < \frac{\pi}{2}$ より $\sin 3t > 0$ であり、$0 < 2t < \frac{\pi}{3}$ より $\cos 2t > 0$ かつ $\sin 2t > 0$ である。したがって、この区間において $$ \frac{dx}{dt} = -10 \sin 3t \cos 2t < 0 $$ $$ \frac{dy}{dt} = 10 \sin 3t \sin 2t > 0 $$ が成り立つ。さらに、$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ であり、分母が負、分子が正であるから、 $$ \frac{dy}{dx} < 0 $$ である。以上より示された。

(2)

$t=0$ のとき $(x, y) = (6, 0)$ であり、$t=\frac{\pi}{6}$ のとき $$ x = 5 \cos \frac{\pi}{6} + \cos \frac{5\pi}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} $$ $$ y = 5 \sin \frac{\pi}{6} - \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 2 $$ となるため、点 $(2\sqrt{3}, 2)$ を通る。この点は直線 $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ 上の点である。 (1)より区間 $0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{6}$ において、$x$ は $6$ から $2\sqrt{3}$ まで単調に減少し、$y$ は $0$ から $2$ まで単調に増加する。求める図形の面積 $S$ は、直線 $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$（$0 \leqq x \leqq 2\sqrt{3}$）と $x$ 軸、および曲線 $C$（$2\sqrt{3} \leqq x \leqq 6$）で囲まれた領域の面積であるから、 $$ S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2 + \int_{2\sqrt{3}}^{6} y \, dx $$ 第2項の積分を $t$ による置換積分で計算する。 $$ \begin{aligned} \int_{2\sqrt{3}}^{6} y \, dx &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{0} y \frac{dx}{dt} dt = - \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} y \frac{dx}{dt} dt \\ &= - \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (5 \sin t - \sin 5t)(-5 \sin t - 5 \sin 5t) dt \\ &= 5 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (5 \sin^2 t + 4 \sin t \sin 5t - \sin^2 5t) dt \end{aligned} $$ 半角の公式および積和の公式を用いて被積分関数を変形する。 $$ \begin{aligned} & 5 \sin^2 t + 4 \sin t \sin 5t - \sin^2 5t \\ &= 5 \cdot \frac{1 - \cos 2t}{2} - 4 \cdot \frac{1}{2}(\cos 6t - \cos 4t) - \frac{1 - \cos 10t}{2} \\ &= 2 - \frac{5}{2} \cos 2t + 2 \cos 4t - 2 \cos 6t + \frac{1}{2} \cos 10t \end{aligned} $$ したがって、積分は $$ \begin{aligned} \int_{2\sqrt{3}}^{6} y \, dx &= 5 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left( 2 - \frac{5}{2} \cos 2t + 2 \cos 4t - 2 \cos 6t + \frac{1}{2} \cos 10t \right) dt \\ &= 5 \left[ 2t - \frac{5}{4} \sin 2t + \frac{1}{2} \sin 4t - \frac{1}{3} \sin 6t + \frac{1}{20} \sin 10t \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} \\ &= 5 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{5}{4} \sin \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{3} - \frac{1}{3} \sin \pi + \frac{1}{20} \sin \frac{5\pi}{3} \right) \\ &= 5 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 - \frac{1}{20} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\ &= 5 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{25}{20} - \frac{10}{20} + \frac{1}{20} \right) \right) \\ &= 5 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{16}{20} \right) \\ &= \frac{5\pi}{3} - 2\sqrt{3} \end{aligned} $$ ゆえに、求める面積 $S$ は $$ S = 2\sqrt{3} + \left( \frac{5\pi}{3} - 2\sqrt{3} \right) = \frac{5\pi}{3} $$

(3)

$C$ 上の点 $(x(t), y(t))$ に対し、$t$ を $-t$ に置き換えると $$ \begin{aligned} x(-t) &= 5 \cos(-t) + \cos(-5t) = 5 \cos t + \cos 5t = x(t) \\ y(-t) &= 5 \sin(-t) - \sin(-5t) = -5 \sin t + \sin 5t = -y(t) \end{aligned} $$ $t$ が $-\pi \leqq t < \pi$ を動くとき、点 $(x(t), -y(t))$ も $C$ 全体を描くため、曲線 $C$ は $x$ 軸に関して対称である。

次に、点 $(x(t), y(t))$ を原点を中心として反時計回りに $\frac{\pi}{3}$ 回転させた点を $(X, Y)$ とすると、 $$ \begin{aligned} X &= x(t) \cos \frac{\pi}{3} - y(t) \sin \frac{\pi}{3} \\ &= (5 \cos t + \cos 5t) \cos \frac{\pi}{3} - (5 \sin t - \sin 5t) \sin \frac{\pi}{3} \\ &= 5 \left( \cos t \cos \frac{\pi}{3} - \sin t \sin \frac{\pi}{3} \right) + \left( \cos 5t \cos \frac{\pi}{3} + \sin 5t \sin \frac{\pi}{3} \right) \\ &= 5 \cos \left( t + \frac{\pi}{3} \right) + \cos \left( 5t - \frac{\pi}{3} \right) \end{aligned} $$ ここで $\cos \left( 5t - \frac{\pi}{3} \right) = \cos \left( 5t - \frac{\pi}{3} + 2\pi \right) = \cos \left( 5 \left( t + \frac{\pi}{3} \right) \right)$ であるから、 $$ X = 5 \cos \left( t + \frac{\pi}{3} \right) + \cos \left( 5 \left( t + \frac{\pi}{3} \right) \right) = x \left( t + \frac{\pi}{3} \right) $$ 同様に、 $$ \begin{aligned} Y &= x(t) \sin \frac{\pi}{3} + y(t) \cos \frac{\pi}{3} \\ &= (5 \cos t + \cos 5t) \sin \frac{\pi}{3} + (5 \sin t - \sin 5t) \cos \frac{\pi}{3} \\ &= 5 \left( \sin t \cos \frac{\pi}{3} + \cos t \sin \frac{\pi}{3} \right) - \left( \sin 5t \cos \frac{\pi}{3} - \cos 5t \sin \frac{\pi}{3} \right) \\ &= 5 \sin \left( t + \frac{\pi}{3} \right) - \sin \left( 5t - \frac{\pi}{3} \right) \end{aligned} $$ $\sin \left( 5t - \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( 5t - \frac{\pi}{3} + 2\pi \right) = \sin \left( 5 \left( t + \frac{\pi}{3} \right) \right)$ より、 $$ Y = 5 \sin \left( t + \frac{\pi}{3} \right) - \sin \left( 5 \left( t + \frac{\pi}{3} \right) \right) = y \left( t + \frac{\pi}{3} \right) $$ したがって、回転後の点 $(X, Y)$ は $C$ の媒介変数表示においてパラメータを $t + \frac{\pi}{3}$ としたときの座標に一致するため、$C$ 上にあることが示された。

(4)

(3) の結果から、曲線 $C$ は $x$ 軸対称であり、かつ原点まわりに $\frac{\pi}{3}$ ごとの回転対称性を持つ。また (1) より、 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{10 \sin 3t \sin 2t}{-10 \sin 3t \cos 2t} = -\tan 2t $$ これより、$t \to +0$ のとき $\frac{dy}{dx} \to 0$ となり、$(6, 0)$ における接線は $x$ 軸である。対称性から、$(6, 0)$ の近傍では曲線は $y>0$ および $y<0$ の領域から $x$ 軸に接するように集まるため、ここは外側に尖った点（尖点）となる。 $t \to \frac{\pi}{6} - 0$ のときは $\frac{dy}{dx} \to -\tan \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$ となる。点 $(2\sqrt{3}, 2)$ での接線の傾きが $-\sqrt{3}$ であり、これは偏角 $\frac{\pi}{6}$ の動径方向と直交するため、対称軸上で曲線がなめらかにつながることを意味する。以上の性質を利用し、$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{6}$ の概形を描いてから、$x$ 軸対称に折り返して中心角 $\frac{\pi}{3}$ の扇形領域の図形を完成させ、それを $\frac{\pi}{3}$ ずつ回転させて全周をつなげると、半径 $6$ の円に内接し、6つの尖点を持つ星形の閉曲線（ハイポサイクロイド）が得られる。（概形の図示においては、頂点が $(\pm 6, 0), (\pm 3, \pm 3\sqrt{3})$ の6か所にあり、原点に最も近づく点が $(2\sqrt{3}, 2)$ などを含む円周上にあることを表現する。）

解法2

(2)の別解（扇形面積の公式の利用）

原点と曲線を結ぶ動径が掃く面積（扇形面積）の公式 $S = \frac{1}{2} \int \left( x \frac{dy}{dt} - y \frac{dx}{dt} \right) dt$ を用いる。 $$ \begin{aligned} x \frac{dy}{dt} - y \frac{dx}{dt} &= (5 \cos t + \cos 5t)(5 \cos t - 5 \cos 5t) - (5 \sin t - \sin 5t)(-5 \sin t - 5 \sin 5t) \\ &= 25(\cos^2 t + \sin^2 t) - 5(\cos^2 5t + \sin^2 5t) - 20(\cos 5t \cos t - \sin 5t \sin t) \\ &= 25 - 5 - 20 \cos(5t + t) \\ &= 20 - 20 \cos 6t \end{aligned} $$ よって、求める面積 $S$ は $$ S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (20 - 20 \cos 6t) dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (10 - 10 \cos 6t) dt = \left[ 10t - \frac{5}{3} \sin 6t \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{5\pi}{3} $$

(3)の別解（複素数平面の利用）

$C$ 上の点 $(x(t), y(t))$ を複素数平面上の点 $z(t)$ とみなすと、オイラーの公式より $$ z(t) = (5 \cos t + \cos 5t) + i(5 \sin t - \sin 5t) = 5e^{it} + e^{-i5t} $$ と表せる。これを原点中心に $\frac{\pi}{3}$ だけ回転させた点は $e^{i\frac{\pi}{3}} z(t)$ であり、 $$ e^{i\frac{\pi}{3}} z(t) = 5e^{i\left(t + \frac{\pi}{3}\right)} + e^{i\left(-5t + \frac{\pi}{3}\right)} $$ ここで、$s = t + \frac{\pi}{3}$ とおくと $t = s - \frac{\pi}{3}$ であるから、第2項の指数部分は $$ -5t + \frac{\pi}{3} = -5\left(s - \frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{3} = -5s + \frac{6\pi}{3} = -5s + 2\pi $$ となる。したがって、 $$ e^{i\frac{\pi}{3}} z(t) = 5e^{is} + e^{i(-5s + 2\pi)} = 5e^{is} + e^{-i5s} = z(s) $$ 関数 $z(t)$ は周期 $2\pi$ の周期関数であるため、$t$ が元の区間を動くとき、パラメータが $s$ に変わっても同じ閉曲線 $C$ 全体を描く。ゆえに回転後の点も $C$ 上にある。

解説

媒介変数表示された曲線の追跡（いわゆるサイクロイド系曲線）の典型的な問題である。 (1) の微分の因数分解は、符号変化を正確に捉えるために和積の公式が必須となる。 (2) の面積計算では、直角三角形の部分と曲線の下の面積を足し合わせるのが基本だが、解法2で示した $x dy - y dx$ の積分（ガウス・グリーンの定理の系）を用いると計算が劇的に簡略化される。ただし、高校範囲では無条件で使える公式として扱われない場合があるため、検算用とするか、用いる場合は理由（三角形分割の極限など）を簡潔に添えるのが安全である。 (3) の回転の証明は、実数のまま加法定理を駆使するか、複素数平面を用いて指数法則で鮮やかに示すかで見通しが大きく変わる。この種の対称性の証明では複素数表示が極めて強力である。 (4) は、内サイクロイド（ハイポサイクロイド）の図示である。特異点（尖点）の存在と、対称軸上での接線のなめらかさを意識して描くことが求められる。