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東京大学 2013年文系第2問解説

方針・初手

（1）は点と距離の公式を用いて直接計算し、根号の中身が完全平方式になることを利用して長さを求める方法が確実である。また、点 $A$ の座標の形から、点 $A$ が双曲線上にあることを見抜ければ、双曲線の定義を用いて瞬時に導くこともできる。

（2）は放物線の式から焦点と準線を求め、二次曲線の定義（焦点までの距離と準線までの距離が等しい）を活用する。その際、点 $A$ が線分 $QB$ 上にあること、および点 $B$ が直線 $y=2$ の下側にあることを論理的に確認する必要がある。

解法1

(1)

点 $P(0, -\sqrt{2})$ と点 $A(a, \sqrt{a^2+1})$ の距離の2乗 $PA^2$ は、

$$ \begin{aligned} PA^2 &= a^2 + \left( \sqrt{a^2+1} - (-\sqrt{2}) \right)^2 \\ &= a^2 + \left( a^2 + 1 + 2\sqrt{2}\sqrt{a^2+1} + 2 \right) \\ &= 2a^2 + 3 + 2\sqrt{2(a^2+1)} \\ &= 2(a^2+1) + 1 + 2\sqrt{2(a^2+1)} \\ &= \left( \sqrt{2(a^2+1)} + 1 \right)^2 \end{aligned} $$

$PA > 0$ であるから、

$$ PA = \sqrt{2(a^2+1)} + 1 $$

である。

同様に、点 $Q(0, \sqrt{2})$ と点 $A(a, \sqrt{a^2+1})$ の距離の2乗 $AQ^2$ は、

$$ \begin{aligned} AQ^2 &= a^2 + \left( \sqrt{a^2+1} - \sqrt{2} \right)^2 \\ &= a^2 + \left( a^2 + 1 - 2\sqrt{2}\sqrt{a^2+1} + 2 \right) \\ &= 2a^2 + 3 - 2\sqrt{2(a^2+1)} \\ &= 2(a^2+1) + 1 - 2\sqrt{2(a^2+1)} \\ &= \left( \sqrt{2(a^2+1)} - 1 \right)^2 \end{aligned} $$

ここで、$a \geqq 0$ より $2(a^2+1) \geqq 2$ であるから、$\sqrt{2(a^2+1)} \geqq \sqrt{2} > 1$ となる。したがって、$\sqrt{2(a^2+1)} - 1 > 0$ であるため、

$$ AQ = \sqrt{2(a^2+1)} - 1 $$

である。

以上より、2つの線分の長さの差は、

$$ \begin{aligned} PA - AQ &= \left( \sqrt{2(a^2+1)} + 1 \right) - \left( \sqrt{2(a^2+1)} - 1 \right) \\ &= 2 \end{aligned} $$

となり、これは $a$ によらない定数である。その値は $2$ である。

(2)

放物線 $y = \frac{\sqrt{2}}{8}x^2$ は $x^2 = 4\sqrt{2}y$ と変形できる。 $x^2 = 4py$ と比較すると $p = \sqrt{2}$ であるから、この放物線の焦点は $(0, \sqrt{2})$、準線は $y = -\sqrt{2}$ である。焦点の座標は点 $Q$ と一致している。

半直線 $QA$ が放物線と交わる点を $B(x_B, y_B)$ とする。点 $A(a, \sqrt{a^2+1})$ について、$0 \leqq a \leqq 1$ であるから、その $y$ 座標は $y_A = \sqrt{a^2+1} \geqq 1$ を満たす。一方で、放物線上の $x = a$ における $y$ 座標は $\frac{\sqrt{2}}{8}a^2$ であり、

$$ \frac{\sqrt{2}}{8}a^2 \leqq \frac{\sqrt{2}}{8} < 1 \leqq y_A $$

が成り立つ。すなわち、点 $A$ は放物線の内側（焦点側）にある。焦点 $Q$ から出発する半直線が放物線上の点 $B$ に至るまでに必ず点 $A$ を通過するため、$3$ 点 $Q, A, B$ はこの順に並ぶ。したがって、$QB = QA + AB$ すなわち $AB = QB - QA$ が成り立つ。

次に、点 $B$ の $y$ 座標 $y_B$ について考える。半直線 $QA$ 上の点の $y$ 座標は、点 $Q$ の $y$ 座標 $\sqrt{2}$ から点 $A$ の $y$ 座標 $\sqrt{a^2+1}$ に向かって変化する。 $0 \leqq a \leqq 1$ より $\sqrt{a^2+1} \leqq \sqrt{2}$ であるため、半直線 $QA$ は水平か下向きに伸びる。よって、その直線上にある点 $B$ の $y$ 座標は $y_B \leqq \sqrt{2} < 2$ を満たす。したがって、点 $B$ から直線 $y=2$ に下ろした垂線の長さ $BC$ は、$BC = 2 - y_B$ となる。

さらに、放物線の定義より、放物線上の点 $B$ から焦点 $Q$ までの距離 $QB$ は、点 $B$ から準線 $y = -\sqrt{2}$ までの距離に等しい。したがって、

$$ QB = y_B - (-\sqrt{2}) = y_B + \sqrt{2} $$

である。

以上より、求める線分の長さの和は、

$$ \begin{aligned} PA + AB + BC &= PA + (QB - QA) + BC \\ &= (PA - QA) + QB + BC \end{aligned} $$

（1）より $PA - QA = 2$ であるから、

$$ \begin{aligned} PA + AB + BC &= 2 + (y_B + \sqrt{2}) + (2 - y_B) \\ &= 4 + \sqrt{2} \end{aligned} $$

となり、これは $a$ によらない定数である。その値は $4 + \sqrt{2}$ である。

解法2

(1)の別解：双曲線の定義の利用

点 $A(a, \sqrt{a^2+1})$ の座標を $(x, y)$ とおくと、$x = a, y = \sqrt{a^2+1}$ である。このとき、

$$ y^2 - x^2 = (a^2 + 1) - a^2 = 1 $$

を満たし、かつ $y \geqq 1 > 0$ である。したがって、点 $A$ は双曲線 $y^2 - x^2 = 1$ の上半枝上の点である。

この双曲線の焦点は、$(0, \sqrt{1^2+1^2}) = (0, \sqrt{2})$ および $(0, -\sqrt{2})$ であり、これらはそれぞれ点 $Q$ および点 $P$ に一致する。双曲線の定義より、双曲線上の点から $2$ つの焦点までの距離の差の絶対値は一定であり、主軸の長さ $2$ に等しい。点 $A$ は上半枝（点 $Q$ 側）にあるため、点 $P$ までの距離のほうが長い。したがって、

$$ PA - AQ = 2 $$

となり、これは $a$ によらない定数である。その値は $2$ である。

（2）についても、解法1と同様に焦点と準線の定義から $PA + AB + BC = 4 + \sqrt{2}$ を得る。

解説

（1）は平方根の中身が平方式になるように式変形できるかが問われている。絶対値を外す際の符号の確認（$\sqrt{2(a^2+1)} - 1 > 0$）を忘れないようにしたい。また、解法2のように座標の形から双曲線を連想できると、計算を大幅に省略できる。

（2）は二次曲線における頻出テーマである「焦点と準線の定義」を利用する良問である。計算で押し切ろうとすると式が非常に複雑になるが、図形的性質を用いることで鮮やかに求まる。論証においては、「点 $A$ が線分 $QB$ 上にあること（$QA + AB = QB$）」「点 $B$ が直線 $y=2$ より下にあること（$BC = 2 - y_B$）」を、与えられた $a$ の範囲から厳密に確認することが重要である。