数学C 媒介変数関数 問題 3 解説

方針・初手

媒介変数 $t$ を消去して、点 $P(x,y)$ の満たす方程式を求める。ここでは $\cos^2 t$ と $\sin 2t$ の間に

$$ \sin^2 2t=4\sin^2 t\cos^2 t $$

という関係があるので、$\cos^2 t$ を $x$ で表して $y$ との関係式を作る。

解法1

与えられた式は

$$ x=2+k\cos^2 t,\qquad y=1+\sin 2t $$

である。まず

$$ X=x-2,\qquad Y=y-1 $$

とおくと、

$$ X=k\cos^2 t,\qquad Y=\sin 2t $$

となる。

$k=0$ のときは $x=2$ であり、点 $P$ は直線 $x=2$ 上を動くだけなので、図形は円ではない。よって以下では $k\ne 0$ とする。

$X=k\cos^2 t$ より

$$ \cos^2 t=\frac{X}{k} $$

である。また、

$$ Y^2=\sin^2 2t=4\sin^2 t\cos^2 t $$

であり、$\sin^2 t=1-\cos^2 t$ だから

$$ Y^2=4\cos^2 t(1-\cos^2 t) $$

となる。ここに $\cos^2 t=\dfrac{X}{k}$ を代入すると、

$$ Y^2=4\cdot \frac{X}{k}\left(1-\frac{X}{k}\right) $$

すなわち

$$ Y^2=\frac{4X}{k}-\frac{4X^2}{k^2} $$

である。両辺を整理すると

$$ X^2+\frac{k^2}{4}Y^2-kX=0 $$

となる。

元の $x,y$ に戻せば

$$ (x-2)^2+\frac{k^2}{4}(y-1)^2-k(x-2)=0 $$

である。

この図形が円になるためには、$X^2$ と $Y^2$ の係数が等しくなければならない。したがって

$$ \frac{k^2}{4}=1 $$

が必要であり、

$$ k^2=4 $$

より

$$ k=\pm 2 $$

を得る。

実際に確認する。

(i)

$k=2$ のとき

$$ X^2+Y^2-2X=0 $$

より

$$ (X-1)^2+Y^2=1 $$

である。すなわち

$$ (x-3)^2+(y-1)^2=1 $$

となり、円である。

(ii)

$k=-2$ のとき

$$ X^2+Y^2+2X=0 $$

より

$$ (X+1)^2+Y^2=1 $$

である。すなわち

$$ (x-1)^2+(y-1)^2=1 $$

となり、円である。

また、$t$ が $0$ から $\pi$ まで動くとき、$\cos^2 t$ は $0$ から $1$ までの値をとり、$\sin 2t$ は正負の両方をとるため、上の円全体が描かれる。

解説

この問題の中心は、$\cos^2 t$ と $\sin 2t$ を別々に扱わず、

$$ \sin^2 2t=4\cos^2 t(1-\cos^2 t) $$

を用いて媒介変数を消去することである。

消去後の方程式は

$$ X^2+\frac{k^2}{4}Y^2-kX=0 $$

となる。これは一般には楕円型の方程式であり、円になるには $X^2$ と $Y^2$ の係数が等しくなる必要がある。その条件から $k=\pm2$ が出る。

注意すべき点は、$k=0$ を別に確認することである。この場合は $x=2$ となり、円ではなく線分になるため除外される。

答え

$$ k=\pm 2 $$