数学C 媒介変数関数 問題 5 解説

方針・初手

$x$ と $y$ はともに $\cos\theta$ を用いて整理できる。特に $0\leqq\theta\leqq\pi$ では $\cos\theta$ が $1$ から $-1$ まで動くので、$t=\cos\theta$ とおくと扱いやすい。

$x$ の最小値は二次関数として求める。$y$ の最大値は $y\geqq 0$ であることを利用し、$y^2$ の最大値を求める。原点からの距離 $r$ は、媒介変数表示の形から直接計算する。

解法1

$t=\cos\theta$ とおく。$0\leqq\theta\leqq\pi$ より、$t$ は $-1\leqq t\leqq 1$ を動く。

まず

$$ x=(1+\cos\theta)\cos\theta=t+t^2 $$

である。したがって

$$ x=t^2+t=\left(t+\frac12\right)^2-\frac14 $$

となる。

$-1\leqq t\leqq 1$ の範囲で $t=-\frac12$ は含まれるから、$x$ は $t=-\frac12$、すなわち

$$ \cos\theta=-\frac12 $$

のとき最小となる。$0\leqq\theta\leqq\pi$ より

$$ \theta=\frac{2\pi}{3} $$

であり、最小値は

$$ -\frac14 $$

である。

次に $y$ の最大値を求める。$0\leqq\theta\leqq\pi$ では $\sin\theta\geqq 0$ であり、また $1+\cos\theta\geqq 0$ であるから、$y\geqq 0$ である。よって $y$ の最大値は $y^2$ の最大値から求められる。

$$ y=(1+\cos\theta)\sin\theta $$

より、$t=\cos\theta$ とすると

$$ y^2=(1+t)^2(1-t^2)=(1+t)^3(1-t) $$

である。そこで

$$ f(t)=(1+t)^3(1-t) $$

とおく。微分すると

$$ \begin{aligned} f'(t) &=3(1+t)^2(1-t)-(1+t)^3 \\ &=(1+t)^2{3(1-t)-(1+t)} \\ &=2(1+t)^2(1-2t) \end{aligned} $$

となる。

$-1\leqq t\leqq 1$ において、端点 $t=-1,1$ では $f(t)=0$ である。また、内部の臨界点は $t=\frac12$ である。このとき

$$ f\left(\frac12\right)=\left(\frac32\right)^3\left(\frac12\right)=\frac{27}{16} $$

であるから、

$$ y_{\max}=\sqrt{\frac{27}{16}}=\frac{3\sqrt3}{4} $$

となる。

$t=\frac12$ は $\cos\theta=\frac12$ を意味するので、$0\leqq\theta\leqq\pi$ より

$$ \theta=\frac{\pi}{3} $$

である。

最後に、原点から点 $(x,y)$ までの距離を $r$ とすると、

$$ \begin{aligned} r &=\sqrt{x^2+y^2} \\ &=\sqrt{(1+\cos\theta)^2\cos^2\theta+(1+\cos\theta)^2\sin^2\theta} \\ &=\sqrt{(1+\cos\theta)^2} \\ &=1+\cos\theta \end{aligned} $$

である。ここで $0\leqq\theta\leqq\pi$ より $1+\cos\theta\geqq 0$ であることを用いた。

したがって $r=1+\cos\theta$ は、$\cos\theta$ が最大となる $\theta=0$ のとき最大となる。よって

$$ r_{\max}=1+\cos0=2 $$

である。

解説

この曲線は極座標的に見ると

$$ (x,y)=(1+\cos\theta)(\cos\theta,\sin\theta) $$

という形をしている。そのため、原点からの距離はすぐに $1+\cos\theta$ と分かる。

一方で、$x$ や $y$ の最大・最小は座標成分だけを見る必要がある。$x$ は $\cos\theta$ の二次式になるので平方完成で処理できる。$y$ はそのまま微分してもよいが、区間内で $y\geqq 0$ であるため、$y^2$ にして $\cos\theta$ だけの式に直すと計算が整理される。

答え

$$ \begin{aligned} \text{[ア]}&=\frac{2\pi}{3},& \text{[イ]}&=-\frac14,\\ \text{[ウ]}&=\frac{\pi}{3},& \text{[エ]}&=\frac{3\sqrt3}{4},\\ \text{[オ]}&=1+\cos\theta,& \text{[カ]}&=2 \end{aligned} $$