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北海道大学 1976年文系第1問解説

方針・初手

与えられた条件 $A$ は、 $x$ の2次関数で表された2つの式で $y$ が挟まれている形をしています。 $f(x) = -x^2 + (a-2)x + a - 4$ $g(x) = x^2 - (a-4)x + 3$ とおくと、条件 $A$ は $f(x) < y < g(x)$ と表せます。 (1)は「 $x$ を決めるごとに、条件を満たす $y$ が見つかる」こと、(2)は「どんな $x$ に対しても通用するような定数 $y$ が存在すること」を意味します。この違いを関数の大小関係や最大値・最小値に翻訳して解き進めます。

解法1

$f(x) = -x^2 + (a-2)x + a - 4$ $g(x) = x^2 - (a-4)x + 3$ とおく。条件 $A$ は $f(x) < y < g(x)$ となる。

(1)

「どんな $x$ に対しても、それぞれ適当な $y$ をとれば $A$ が成り立つ」とは、任意の実数 $x$ に対して $f(x) < g(x)$ となることと同値である。

$$ -x^2 + (a-2)x + a - 4 < x^2 - (a-4)x + 3 $$

整理すると、

$$ 2x^2 - 2(a-3)x - a + 7 > 0 $$

この不等式がすべての実数 $x$ について成り立つための条件は、左辺を $= 0$ とおいた2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D < 0$ となることである。

$$ \frac{D}{4} = (-(a-3))^2 - 2(-a+7) < 0 $$

$$ (a^2 - 6a + 9) + 2a - 14 < 0 $$

$$ a^2 - 4a - 5 < 0 $$

$$ (a+1)(a-5) < 0 $$

これを解いて、

$$ -1 < a < 5 $$

(2)

「適当な $y$ をとれば、どんな $x$ に対しても $A$ が成り立つ」とは、ある定数 $y$ が存在して、すべての実数 $x$ に対して $f(x) < y$ かつ $y < g(x)$ が成り立つことと同値である。すなわち、

$$ (f(x) \text{の最大値}) < y < (g(x) \text{の最小値}) $$

を満たす実数 $y$ が存在すればよい。したがって、求める条件は

$$ (f(x) \text{の最大値}) < (g(x) \text{の最小値}) $$

である。それぞれ平方完成して最大値・最小値を求める。

$$ \begin{aligned} f(x) &= - \left\{ x^2 - (a-2)x \right\} + a - 4 \\ &= - \left( x - \frac{a-2}{2} \right)^2 + \frac{(a-2)^2}{4} + a - 4 \\ &= - \left( x - \frac{a-2}{2} \right)^2 + \frac{a^2 - 4a + 4 + 4a - 16}{4} \\ &= - \left( x - \frac{a-2}{2} \right)^2 + \frac{a^2 - 12}{4} \end{aligned} $$

より、$f(x)$ の最大値は $\frac{a^2 - 12}{4}$ である。

$$ \begin{aligned} g(x) &= x^2 - (a-4)x + 3 \\ &= \left( x - \frac{a-4}{2} \right)^2 - \frac{(a-4)^2}{4} + 3 \\ &= \left( x - \frac{a-4}{2} \right)^2 - \frac{a^2 - 8a + 16 - 12}{4} \\ &= \left( x - \frac{a-4}{2} \right)^2 - \frac{a^2 - 8a + 4}{4} \end{aligned} $$

より、$g(x)$ の最小値は $-\frac{a^2 - 8a + 4}{4}$ である。

ゆえに、満たすべき条件は

$$ \frac{a^2 - 12}{4} < -\frac{a^2 - 8a + 4}{4} $$

両辺に $4$ を掛けて整理する。

$$ a^2 - 12 < -a^2 + 8a - 4 $$

$$ 2a^2 - 8a - 8 < 0 $$

$$ a^2 - 4a - 4 < 0 $$

方程式 $a^2 - 4a - 4 = 0$ の解は $a = 2 \pm \sqrt{4 - (-4)} = 2 \pm 2\sqrt{2}$ であるから、求める $a$ の範囲は

$$ 2 - 2\sqrt{2} < a < 2 + 2\sqrt{2} $$

解説

論理の順序（全称記号 $\forall$ と存在記号 $\exists$ の順序）による意味の違いを問う、論理と集合・2次関数の融合問題です。

(1) は「 $\forall x, \exists y$ 」という構造です。「 $x$ を自由に1つ選ぶ。その選んだ $x$ に応じて、$y$ を都合よく選ぶことができる」という意味です。グラフで言えば、どの $x$ 座標においても、放物線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の間に隙間がある（すなわち $f(x) < g(x)$ ）状態を指します。

(2) は「 $\exists y, \forall x$ 」という構造です。「最初に $y$ を1つ固定する。すると、どんな $x$ を持ってきても条件が成り立つ」という意味です。グラフで言えば、 $y=f(x)$ の頂点（最も高い場所）よりも上にあり、かつ $y=g(x)$ の頂点（最も低い場所）よりも下にあるような、水平な直線 $y=k$ が引ける状態を指します。

この違いを正しく数式に翻訳できるかが問われています。