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東北大学 1970年理系第1問解説

方針・初手

$f(x)$ は絶対値を含む1次関数であるため、絶対値の中身の符号が変わる $x=a, b, c$ を境に場合分けし、各区間における関数の傾きを調べて最小値 $F$ を求める。 $g(x)$ は $x$ の2次関数であるため、平方完成により最小値 $G$ を求める。最後に、$F^2$ と $6G$ の大小を比較する際は、$6G - F^2$ を計算し、その値が $0$ 以上になるか等で判定する。

解法1

$f(x)$ の最小値 $F$ を求める。

$a \leqq b \leqq c$ であるから、$x$ の値によって絶対値を外す。

(i) $x \leqq a$ のとき

$$f(x) = -(x-a) - 2(x-b) - 3(x-c) = -6x + a + 2b + 3c$$

(ii) $a \leqq x \leqq b$ のとき

$$f(x) = (x-a) - 2(x-b) - 3(x-c) = -4x - a + 2b + 3c$$

(iii) $b \leqq x \leqq c$ のとき

$$f(x) = (x-a) + 2(x-b) - 3(x-c) = -a - 2b + 3c$$

(iv) $c \leqq x$ のとき

$$f(x) = (x-a) + 2(x-b) + 3(x-c) = 6x - a - 2b - 3c$$

$f(x)$ の傾きは $-6, -4, 0, 6$ と変化する。したがって、$f(x)$ は $b \leqq x \leqq c$ の範囲で常に最小値をとる。

$$F = -a - 2b + 3c$$

次に、$g(x)$ の最小値 $G$ を求める。

$g(x)$ を展開して $x$ について整理すると、

$$ \begin{aligned} g(x) &= (x^2 - 2ax + a^2) + 2(x^2 - 2bx + b^2) + 3(x^2 - 2cx + c^2) \\ &= 6x^2 - 2(a+2b+3c)x + a^2 + 2b^2 + 3c^2 \end{aligned} $$

平方完成すると、

$$g(x) = 6 \left( x - \frac{a+2b+3c}{6} \right)^2 - \frac{(a+2b+3c)^2}{6} + a^2 + 2b^2 + 3c^2$$

したがって、$g(x)$ は $x = \frac{a+2b+3c}{6}$ のとき最小値をとる。

$$ \begin{aligned} G &= a^2 + 2b^2 + 3c^2 - \frac{(a+2b+3c)^2}{6} \\ &= \frac{6(a^2 + 2b^2 + 3c^2) - (a^2 + 4b^2 + 9c^2 + 4ab + 12bc + 6ca)}{6} \\ &= \frac{5a^2 + 8b^2 + 9c^2 - 4ab - 12bc - 6ca}{6} \end{aligned} $$

最後に、$F^2$ と $6G$ の大小を比較する。

$$F^2 = (-a - 2b + 3c)^2 = a^2 + 4b^2 + 9c^2 + 4ab - 12bc - 6ca$$

ここで、$6G - F^2$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} 6G - F^2 &= (5a^2 + 8b^2 + 9c^2 - 4ab - 12bc - 6ca) - (a^2 + 4b^2 + 9c^2 + 4ab - 12bc - 6ca) \\ &= 4a^2 - 8ab + 4b^2 \\ &= 4(a-b)^2 \end{aligned} $$

$a, b$ は実数であるから $4(a-b)^2 \geqq 0$ となり、

$$6G - F^2 \geqq 0$$

よって、$F^2 \leqq 6G$ である。

解法2

（大小比較に関する別解）

$F = -a - 2b + 3c$ 、 $G$ が $g(x)$ の最小値であることを求めた後の大小比較において、コーシー・シュワルツの不等式を利用する。

任意の実数 $p_1, p_2, p_3, q_1, q_2, q_3$ に対して、以下のコーシー・シュワルツの不等式が成り立つ。

$$(p_1^2 + p_2^2 + p_3^2)(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2) \geqq (p_1 q_1 + p_2 q_2 + p_3 q_3)^2$$

ここで、$p_1 = 1, p_2 = \sqrt{2}, p_3 = \sqrt{3}$ とし、$q_1 = x-a, q_2 = \sqrt{2}(x-b), q_3 = -\sqrt{3}(x-c)$ とすると、

$$(1^2 + (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2) \left\{ (x-a)^2 + 2(x-b)^2 + 3(x-c)^2 \right\} \geqq \left\{ 1\cdot(x-a) + 2(x-b) - 3(x-c) \right\}^2$$

となる。

この式の左辺は $6g(x)$ に等しい。また、右辺の括弧内を計算すると、

$$(x-a) + 2(x-b) - 3(x-c) = -a - 2b + 3c = F$$

となる。

したがって、任意の実数 $x$ に対して

$$6g(x) \geqq F^2$$

が成り立つ。

$g(x)$ の最小値は $G$ であるから、$x$ として $g(x)$ が最小値をとる値（ $x = \frac{a+2b+3c}{6}$ ）を代入すれば、

$$6G \geqq F^2$$

が得られる。

解説

絶対値の和の関数 $f(x)$ の最小値は、中身が $0$ になる $x$ の値（境界点）を境に傾きがどう変化するかを追うことで容易に求まる。グラフの形は下に凸な折れ線となる。 $g(x)$ は単なる2次関数であるため、展開して平方完成することにより素直に最小値を計算できる。

大小比較については、解法1のように愚直に差をとって平方の形を作る方法が確実であり、標準的である。一方、解法2に示したようにコーシー・シュワルツの不等式を用いると、複雑な展開計算を回避してスマートに不等式を導くことができる。ベクトルの内積の性質 $\left( |\vec{u}|^2 |\vec{v}|^2 \geqq (\vec{u} \cdot \vec{v})^2 \right)$ と見なすこともできる。