北海道大学 1963年 文系 第3問 解説

方針・初手

変数 $x$ の満たす不等式を解き、$x$ の変域を $b$ を用いて表す。 その後、二次関数 $f(x) = x^2 + bx$ のグラフの軸の位置と定義域の位置関係に注目し、場合分けをして最小値を求める。

解法1

変数 $x$ に関する不等式 $x^2 + bx \leqq -x$ は、次のように変形できる。

$$ x^2 + (b+1)x \leqq 0 $$

$$ x(x + b + 1) \leqq 0 $$

問題の条件より $b < -1$ であるから、$b+1 < 0$、すなわち $-(b+1) > 0$ である。 したがって、この不等式の解（$x$ の変域）は以下のようになる。

$$ 0 \leqq x \leqq -(b+1) $$

次に、最小値を求める関数を $f(x) = x^2 + bx$ とおく。 これを平方完成すると、

$$ f(x) = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \frac{b^2}{4} $$

この二次関数のグラフは下に凸の放物線であり、軸は直線 $x = -\frac{b}{2}$ である。

$b < -1$ より $b < 0$ であるため、軸 $x = -\frac{b}{2}$ は常に $x > 0$ の領域にある。 定義域 $0 \leqq x \leqq -(b+1)$ に対する軸 $x = -\frac{b}{2}$ の位置によって最小値をとる $x$ の値が変わるため、以下の2つの場合で考える。

(i) 軸が定義域内にある場合

すなわち、$0 < -\frac{b}{2} \leqq -(b+1)$ のとき。 不等式 $-\frac{b}{2} \leqq -(b+1)$ を解くと、

$$ -b \leqq -2b - 2 $$

$$ b \leqq -2 $$

このとき、関数 $f(x)$ は $x = -\frac{b}{2}$ で最小値をとる。 最小値は $-\frac{b^2}{4}$ であるから、条件より

$$ -\frac{b^2}{4} = -\frac{1}{2} $$

$$ b^2 = 2 $$

よって、$b = \pm \sqrt{2}$ となるが、いずれも $b \leqq -2$ を満たさないため不適である。

(ii) 軸が定義域の右側にある場合

すなわち、$-(b+1) < -\frac{b}{2}$ のとき。 不等式を解くと、

$$ -2b - 2 < -b $$

$$ -2 < b $$

問題の条件 $b < -1$ と合わせて、この場合は $-2 < b < -1$ の範囲を考えることになる。 このとき、定義域 $0 \leqq x \leqq -(b+1)$ において、関数 $f(x)$ は単調に減少する。 したがって、$f(x)$ は $x = -(b+1)$ で最小値をとる。 最小値を計算すると、

$$ f(-(b+1)) = \{ -(b+1) \}^2 + b\{ -(b+1) \} = (b+1)^2 - b(b+1) = b+1 $$

条件より、この最小値が $-\frac{1}{2}$ であるから、

$$ b+1 = -\frac{1}{2} $$

$$ b = -\frac{3}{2} $$

これは $-2 < b < -1$ を満たす。

(i)、(ii) より、求める $b$ の値は $b = -\frac{3}{2}$ である。

解説

文字が含まれる2次関数の最大・最小問題の典型的な構造である。 まずは与えられた不等式を解き、$x$ の定義域を正しく設定することが出発点となる。このとき、$b < -1$ という条件を用いて定義域の端点の大小関係を確定させる点に注意する。

その後は、2次関数の軸と定義域の位置関係による場合分けを行う。今回は軸が常に正であるため、定義域の右端と軸の位置の比較のみが場合分けの基準となる。求めた $b$ の値が、場合分けで設定した前提条件を満たしているかの確認を忘れないようにする。

答え

$$ b = -\frac{3}{2} $$